21 September 2013

POTENSI ICT DALAM PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN SAINS

Oleh: Azlan Bin Budun
1.0       Pendahuluan
Teknologi Maklumat dan Komunikasi (Information and Communication Technology) atau ringkasnya ICT adalah penggunaan komputer, peranti komunikasi dan perisian aplikasi untuk memproses, menyimpan, mencapai semula, melindungi dan menghantar maklumat dari mana-mana tempat pada bila-bila masa (Nota Padat & Lengkap, 2011). Secara khusus, maklumat merujuk kepada sebarang data-data yang telah dimanipulasikan oleh komputer yang boleh disimpan, dikongsi dan boleh dicapai pada bila-bila masa dan di mana jua manakala komunikasi pula adalah proses bertukar-tukar maklumat dengan menggunakan peranti dan perkhidmatan komunikasi seperti internet, e-mail, telesidang video dan telefon (Nota Padat & Lengkap, 2011).
            
Muhamad Sham (2006) menjelaskan fenomena ICT amat ketara pada 1980an dengan kemasukan videoteks dan teleteks, kabel interaktif, cakera video, cakera padat, satelit komunikasi, automasi pejabat, pager dan radio selular, mel elektronik, kemudahan telesidang dan pelbagai teknologi multimedia lain. ICT digunakan dalam pelbagai bidang seperti  bidang pendidikan, perindustrian, perniagaan dan perbankan. Fokus kepada bidang pendidikan, pembangunan pendidikan mementingkan pembudayaan dan penguasaan ICT di kalangan pelajar.  Robiah  &  Nor Sakinah (2007) menyatakan, perubahan harus berlaku dalam sistem mengajar dan belajar di bilik-bilik darjah yang mana pendekatan konstruktivisme adalah digalakkan kerana ia dapat memupuk minat serta menggalakkan pelajar lebih bertanggungjawab terhadap pembelajaran di samping menerapkan amalan pembelajaran sepanjang hayat.
            
Selain itu, ICT amat berpotensi dalam pembelajaran kreatif dan pengajaran inovatif khususnya subjek Sains. Kini, terdapat pelbagai perisian yang sangat bermanfaat kepada guru dan pelajar dalam mempelajari subjek Sains. Kecanggihan ICT dilihat satu keperluan dalam menjana kreativiti pelajar dan inovasi guru. Ferrari, A., Cachia, R., & Punie, Y. (2011) menyatakan, “the generation of the ‘New Millennium Learners’ is characterized by multitasking, short attention spans, gaining information in non-linear ways (Pedro, 2006). Teachers have to attract their interest and attention in a new way, and as a result the development of creative approaches is called for (Simplicio, 2000)”. Tambahan lagi, Ferrari, A. et al. (2011), “the current and forthcoming cohorts of learners are growing up surrounded by video games, mobile phones, and other digital media. This overwhelming spread of technologies brings a new understanding of communication, information retrieval and meaning-making”. Mohd. Yusof (2012) memberikan beberapa syarat kreativiti dan inovasi dalam pendidikan sains. Syarat-syarat tersebut ialah ghairahkan perasaan ingin tahu pelajar, kemampuan mencerap fenomena alam tabii, kemampuan untuk menganalisis secara sistematik, kemampuan memberi makna kepada apa yang dicerap dan dianalisis, kemampuan untuk membuat kesimpulan dan kebolehan untuk menyatakan darjah kebenaran pencerapan saintifik (analisis ralat). Maka, jika ICT mampu memenuhi syarat-syarat tersebut, ICT berpotensi untuk pembelajaran kreatif dan pengajaran inovatif. Antara contoh ICT yang berpotensi menjana pembelajaran kreatif dan pengajaran inovatif ialah YouTube, Facebook, Blog, aplikasi telefon pintar dan permainan berkomputer.

2.0       YouTube
Umum mengetahui YouTube merupakan laman perkongsian video yang disukai ramai dan yang membenarkan penggunanya memuat naik, menonton dan berkongsi klip video. Video-videonya boleh dinilai, dengan kedua-dua pemeringkatan purata serta kekerapan video itu ditonton dipaparkan.

Jika ruangan pencarian YouTube ditaip perkataan science, maka seorang guru atau pelajar dapat melihat senarai panjang berkaitan sains. Guru dapat memberikan contoh kepada murid menggunakan YouTube bagi membolehkan pelajar memahami secara jelas proses yang berlaku. YouTube menyediakan video-video yang sangat bermanfaat dan boleh disimpan serta dapat dijadikan rujukan santai sama ada kepada guru atau pelajar. Mullen, R., & Wedwick, L. (2008) menyatakan, “...YouTube (2008) provides limitless opportunities to enhance a multitude of lessons. Videos that once had to be found, reserved, checked out and returned are now available at the click of a mouse. A teacher can save videos for lessons in the favorites section of his or her account for easy access or conduct spontaneous searches when necessary. For classroom use, the teacher should be in control of or closely monitoring all YouTube searches because some posted material is not school appropriate. If you would like your students to perform video searches, use school safe Web sites such as School Tube or Teacher Tube”.

3.0       Blog
Secara umum, Blog (singkatan untuk web log dalam bahasa Inggeris) ialah sebuah laman web yang kemasukan-kemasukannya ditulis menurut urutan kronologi dan dipaparkan dengan tertib terbalik. Blog memberikan ulasan atau berita mengenai sesuatu tajuk, umpamanya makanan, politik, atau berita tempatan, dengan sesetengah blog berperanan lebih sebagai buku harian peribadi dalam talian. Blog yang tipikal menggabungan teks, imej, dan pautan ke dalam blog, laman web, dan media lain yang berkaitan dengan topiknya. Keupayaan para pembaca untuk meninggalkan ulasan mereka dalam format interaktif merupakan ciri yang utama untuk banyak blog. Kebanyakan blog umumnya adalah blog teks, walaupun sesetengahnya bertumpu pada gambar foto (blog foto), video (vlog), muzik (blog MP3), atau audio (podcasting) dan merupakan sebahagian rangkaian media sosial yang lebih luas (Wikipedia, 2013). Read, S. (2006) menjelaskan, blog ialah “online journals-a series of archived Internet postings, some of which contain hypertext links to websites and other blogs”.
            
Blog sangat berpotensi dalam pembelajaran kreatif dan pengajaran inovatif. Penggunaan blog dalam subjek Sains boleh digunakan semasa sesi pengajaran dan pembelajaran (PDP) dalam mahupun luar kelas. Mullen, R., & Wedwick, L. (2008) menyatakan, “In the classroom, blogs are highly effective communication tools that create a variety of authentic writing experiences for students and teachers. Blogs can be set up and maintained for free by using blog software such as Blogger, MyBlogSite, edublogs, and LearnerBlog. Blog-hosting Web sites offer user friendly templates and instructions to help create new blogs, and guides and video tutorials are also available on the Internet. Blog maintenance takes time, planning, practice, and experimentation, and teachers must find what works best for their students and their classroom blog”.
            
Blog membolehkan para guru dan pelajar menulis idea mereka untuk dikongsikan dengan mudah. Khusus untuk subjek Sains, guru dan pelajar boleh menulis pengalaman hidup berkaitan Sains, kisah ajaib tentang Sains, keseronokan belajar Sains dan sebagainya. Nardi, B. A., Schiano, D. J., Gumbrecht, M., & Swartz, L. (2004) mengemukakan hasil kajian mereka, “We found tremendous diversity in blog content, even in our limited sample. On the serious side, Evan, a graduate student in genetics, posted commentaries on science and health, covering such topics as AIDS, heart disease, science education, and health care policy”.

4.0       Facebook
Facebook ialah sebuah tapak web rangkaian sosial yang dikendali dan dimiliki secara persendirian oleh Facebook, Inc. Sejak 2006, sesiapa yang berumur 13 tahun ke atas dan memiliki alamat e-mel yang sah boleh menjadi pengguna Facebook. Facebook lebih menyasarkan golongan belia berbanding dewasa. Pengguna boleh menambah rakan dan saling menghantar mesej, serta mengemaskini profil peribadi mereka sebagai makluman kepada rakan-rakan. Selain itu, pengguna juga boleh menyertai rangkaian yang dianjurkan oleh tempat kerja, sekolah, atau kolej (Wikipedia, 2013).
            
Potensi Facebook dalam pembelajaran kreatif dan pengajaran inovatif boleh dilihat daripada fungsi Facebook itu sendiri sebagai medium perkongsian. Perkongsian pintar dan mesra memudahkan lagi sesi PDP dilakukan. Smith and Peterson (2007, p.279) dalam Selwyn, N. (2007) menyatakan: “by telling another classmate what the professor covered in class, the student has an opportunity to further process the information, even restructuring it within their thoughts”.  Tambahan pula, Griffith, S., & Liyanage, L. (2008) turut menjelaskan, “The sharing of information amongst groups can have a positive effect. In an article on the British Newspaper “The Independent”,Journalist Harriet Swain outlinessome innovation among academics of some English universitiesto communicate with their students on Facebook”. Selain itu, bilangan penyertaan yang ramai daripada guru dan pelajar seluruh dunia amat mudah diwujudkan menggunakan Facebook. Ini menyebabkan, lebih banyak maklumat baru dan terkini diperoleh oleh golongan pendidik dan pelajar. Maka, seperti yang dinyatakan oleh Lampe, C., Wohn, D. Y., Vitak, J., Ellison, N. B., & Wash, R. (2011), “Facebook is a tool that is widely used by college students as a social communication platform. Some of these users are repurposing Facebook as a tool for classroom organizing and supporting collaborations that are instructor-sanctioned”.
           
5.0       Aplikasi Telefon Pintar
Telefon pintar adalah telefon bimbit yang mempunyai ciri pengkomputeran maju dan ketersambungan berbanding dengan telefon bimbit biasa. Telefon pintar membolehkan penggunanya memasang aplikasi canggih di dalamnya berasaskan pelantar telefon seperti Symbian, Android, iOS atau Windows Phone. Ia juga menggunakan sistem pengendalian yang menyediakan satu pelantar untuk pembina aplikasi (Wikipedia, 2013).

White, J., & Turner, H. (2011) menjelaskan, “we found that students’ exceptional interest in smartphones and their excitement for building mobile apps that solved problems they cared about motivated them to independently learn a number of advanced topics outside the scope of the class”. Guru dan pelajar dapat menjana kreativiti dan inovasi menggunakan aplikasi dalam telefon pintar. Gabungan teks, gambar, video dapat menarik perhatian semasa proses PDP. McGreen and Arnedillo Sanchez (2005) dalam White, J., & Turner, H. (2011) mencadangkan, “the use of mobile phones to create digital narratives or stories where learners collaboratively plan a story, either fictional or non fictional, then create and edit the story using mobile phones and movie editing software, finally sharing the story through social networking sites such as YouTube”. Aplikasi telefon pintar mudah diperoleh secara percuma dan mudah untuk dibawa. Sebarang idea baru atau pembaharuan idea boleh disimpan dalam bentuk digital menggunakan aplikasi telefon pintar. Oleh itu, subjek Sains kini boleh dipelajari dalam dan luar kelas dengan mudah, cepat dan mesra. Kim, J., Altmann, J., & Ilon, L. (2012) menyatakan, “Learning moves from learning in a classroom towards learning within a communication-technology-based network of students, professors, and information”.


Realiti hari ini menunjukkan dengan jelas penggunaan telefon pintar di kalangan pelajar begitu meluas. Jika kawalan dapat dibuat dengan baik, maka tentu saja aplikasi telefon pintar dapat digunakan dengan berkesan di dalam kelas. Pelajar dapat melakukan penjelajahan secara individu mahupun secara berkumpulan dalam dunia digital (telefon pintar). Ini menyediakan peluang kepada pelajar meningkatkan lagi kreativiti mereka dalam pembelajaran Sains.

6.0       Permainan Berkomputer
Permainan komputer adalah permainan yang dikawal oleh komputer. Permainan berkomputer kian popular seiring dengan perkembangan ICT. Banyak permainan berteknologi telah digunakan sebagai daya tarikan untuk belajar dan berhibur. Contoh permainan berkomputer berunsur pendidikan sains di Malaysia yang mendapat sambutan antaranya di Petrosains, Kuala Lumpur Central Centre (KLCC) seperti simulasi helikopter, simulasi pemanduan kereta kelajuan tinggi,  makmal kimia maya dan permainan hidupan dalam air (Zakirah  & Fadhilah, 2007).

Permainan berkomputer merupakan satu lagi contoh ICT yang berpotensi dalam pembelajaran kreatif dan pengajaran inovatif untuk subjek Sains. Guru boleh merekabentuk  permainan berunsur menggunakan perisian seperti PowerPoint atau boleh memuat turun permainan-permainan yang disediakan di internet.


Permainan berkomputer mampu menjana kreativiti pelajar jika mereka diberi peluang untuk memainkannya secara individu atau secara berkumpulan. Menurut Omar Ashaari (1999) menjelaskan, dalam proses pengajaran dan pembelajaran, sama ada dalam peringkat set induksi atau aktiviti, alat bantu mengajar (ABM) yang sesuai dan berkesan bukan sahaja dapat menumpukan perhatian pelajar terhadap pengajaran guru, tetapi juga dapat mendorong para pelajar menjalankan aktiviti pembelajaran mereka, jika mereka diberi peluang menggunakan ABM itu.

Selain itu, terdapat beberapa konsep sains memang sukar dijelaskan oleh guru dan difahami pelajar. Namun, pelajar dapat meningkatkan kefahaman terhadap sesuatu konsep sains dengan inovasi permainan dan kreativiti soalan yang diselitkan dalam permainan berkomputer yang berunsur sains.   Olsen, P. (2011) menyatakan, “Computer games are suitable for improving literacy skills, exploring history and social studies, and learning math and science concepts”.

7.0       Kesimpulan
Henry Jenkins dalam Mullen, R., & Wedwick, L. (2008) menyatakan, “Today, the ability to navigate social networks, play games, or participate in online conversations affects the way young people present themselves to the world. There’s an informal learning that takes place as they interact with digital media, which gives way to certain skills, competencies, and literacies”. Kata-kata tersebut memang tepat untuk ditujukan kepada generasi masa sekarang.

Realiti pada hari ini turut memaparkan kepada kita kanak-kanak berusia 2 tahun sudah mampu menggunakan Galaxy Tab 10.1 atau alat ICT lain yang canggih untuk mengenal huruf atau objek-objek tertentu.  ‘Dunia di hujung jari’ merupakan frasa yang amat mudah difahami pada masa kini. Oleh itu, antara faktor kejayaan seseorang itu ialah terletak kepada kemahirannya menggunakan kecanggihan ICT yang sedia ada atau yang bakal ada. Namun, kreativiti dan inovasi yang berterusan perlulah dipupuk agar ledakan ICT yang berpotensi meningkatkan pembelajaran kreatif dan pengajaran inovatif dalam bilik darjah dapat direalisasikan dengan baik. “To be successful in the world, students must learn to manipulate various forms of new media with a high level of comfort and skill, and school must become a place in which students can acquire the necessary skills for technological success. It is time to begin taking steps to close the digital divide (Mullen, R., & Wedwick, L., 2008).”



BIBLIOGRAFI

Ferrari, A., Cachia, R., & Punie, Y. (2011). ICT As a Driver for Creative Learning and Innovative Teaching. Retrieved May 14th.

Griffith, S., & Liyanage, L. (2008). An Introduction to the Potential of Social Networking Sites in Education. In Emerging Technologies Conference 2008 (p. 9).

Kim, J., Altmann, J., & Ilon, L. (2012). Using Smartphone Apps for Learning in a Major Korean University (No. 201292). Seoul National University; Technology Management, Economics, and Policy Program (TEMEP).

Lampe, C., Wohn, D. Y., Vitak, J., Ellison, N. B., & Wash, R. (2011). Student Use of Facebook for Organizing Collaborative Classroom Activities. International Journal of Computer-Supported Collaborative Learning6(3), 329-347.

Mohd. Yusof Hj. Othman (2012). Seminar Kreativiti dan Inovasi dalam Kurikulum (SKIK) 2012 anjuran Bahagian Pembangunan Kurikulum, Kementerian Pelajaran Malaysia bertempat di Hotel Ilham, Port Dickson, pada 15-18 Zulkaedah 1433H/1-4 Oktober 2012.

Muhamad Sham Bin Shahkat Ali (2006) ICT: Peranan dan Potensi Dalam Pembangunan Pelajar. In: National Student Development Conference (NASDEC) 2006, 8-9 August 2006, Kuala Lumpur, Malaysia.

Mullen, R., & Wedwick, L. (2008). Avoiding the Digital Abyss: Getting Started in the Classroom with YouTube, Digital Stories, and Blogs. The Clearing House: A Journal of Educational Strategies, Issues and Ideas82(2), 66-69.

Nardi, B. A., Schiano, D. J., Gumbrecht, M., & Swartz, L. (2004). Why We Blog. Communications of the ACM47(12), 41-46.

Nota Padat & Lengkap COMPLETE, Information and Communication Technology (2011). Kelantan: Sky Global Trade.

Olsen, P. (2011). Computer Games: Enhancing Education. http://games.xboltz.net/CIS107_honors_paper.pdf (diakses pada 17 Mei 2013).

Omar Bin Ashaari (1999). Pengajaran Kreatif Untuk Pelajaran Aktif. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.

Read, S. (2006). Tapping into Students' Motivation: Lessons from Adolescents' Blogs. Voices from the Middle14(2), 38.

Robiah Sidin & Nor Sakinah Mohamad (2007). ICT dalam Pendidikan: Prospek dan Cabaran Dalam Pembaharuan Pedagogi. Jurnal Pendidikan 32 (2007) 139-152 139.

Selwyn, N. (2007). ‘Screw Blackboard... Do It On Facebook!’: An Investigation of Students’ Educational Use of Facebook. Ponencia. En: Poke.

White, J., & Turner, H. (2011). Smartphone Computing in the Classroom. Pervasive Computing, IEEE10(2), 82-86.

Wikipedia (2013). http://ms.wikipedia.org/wiki/Blog#Rujukan (diakses pada 15 Mei 2013).


Wikipedia (2013). http://ms.wikipedia.org/wiki/Facebook#cite_ref-Growth_5-0 (diakses pada 15 Mei 2013).

Wikipedia (2013). http://ms.wikipedia.org/wiki/Telefon_pintar (diakses pada 15 Mei 2013).

Zakirah Othman & Fadhilah Mat Yamin (2007). Tinjauan Permainan Berkomputer Sebagai Alat Pembelajaran.





18 September 2013

TIGA FALSAFAH MATEMATIK: INTUISISME, LOGIKISME DAN FORMALISME

Oleh:
Azlan Bin Budun, Jolly Geofrey, Marinus Joe Peter & Zulhariszan Abd. Manan

1.0 PENGENALAN
1.1          Pendahuluan
Bidang falsafah matematik merupakan bidang pengetahuan yang diperolehi hasil daripada pemikiran ahli falsafah tentang matematik itu sendiri. Bidang ini agak baru diperkenalkan di rantau ini, tidak seperti bidang-bidang matematik yang lain yang telah lama bertapak seperti Geometri dan Teori Nombor. Negara-negara Barat khususnya, falsafah matematik telah lama diajar di pusat-pusat pengajian tinggi dalam pelbagai jabatan seperti di Jabatan Matematik sendiri ataupun di Jabatan Falsafah.

Anggapan tentang matematik itu sendiri merupakan sebab utama bidang falsafah matematik ini lambat tersebar di rantau ini. Pada umumnya, masyarakat beranggapan bahawa matematik ialah ilmu teknikal yang hanya berkaitan dengan nombor dan tidak dipengaruhi oleh sebarang nilai. Oleh itu, tidak ada maknanya jika kita memperkatakan falsafah matematik itu. Selain itu, penjajahan mental di kalangan ahli matematik tempatan yang merasa kerdil untuk memberikan ataupun menaja pembaharuan-pembaharuan dalam matematik yang lebih sesuai dengan budaya tempatan. Golongan ahli matematik ini lebih selesa mengambil jalan mudah dengan hanya menyampaikan kesemua ilmu matematik yang dipelajari daripada sesetengah pusat pengajian tinggi di Barat.

Umumnya, mentaliti manusia yang dibelenggu dengan penjajahan sentiasa memandang tinggi kepada bangsa yang menjajahnya, sehingga golongan ini memandang ilmu matematik yang disahkan oleh universiti-universiti tertentu di Barat sahajalah yang boleh dianggap sebagai ilmu matematik yang sebenar. Oleh yang demikian, ahli matematik perlu meneliti kembali asas dan andaian matematik yang dihayati oleh mereka selama ini secara langsung ataupun tidak langsung dan mengenal pasti sama ada relevan atau tidak relevan dengan perkembangan matematik tempatan. Penelitian kembali tentang gagasan matematik tidak mungkin terlaksana tanpa kesedaran yang mendalam tentang falsafah yang mendasari ilmu matematik itu sendiri.

1.2          Apakah Itu Falsafah?
Menurut Abdul Latif Samian (1999), dari segi etimologinya, falsafah berasal daripada sebutan Latin (sic), ‘philosophia’ yang bermaksud cinta kepada kebenaran. Mat Rofa Ismail (2004) pula menyatakan, falsafah atau ‘philosophia’ dalam bahasa Yunani (sic) bermaksud mencintai ilmu secara mendalam. Terdapat sebuah kisah menarik berkenaan Putera Leon dengan Pithagoras dalam pertemuan mereka di Sukan Olimpik. Putera Leon bertanya kepada Pithagoras maksud falsafah. Pithagoras menjelaskan: “Wahai Putera Leon, kehidupan ini bolehlah dibandingkan dengan Sukan Olimpik ini. Ada yang datang untuk kemenangan, ada pula yang datang untuk kemasyhuran nama, tetapi hanya sebahagian kecil daripada mereka yang datang untuk memerhati, mengkaji, memahami apa yang berlaku di sini. Golongan terakhir inilah yang dinamai ahli falsafah” (Mat Rofa Ismail, 2004). 

1.3          Apakah Itu Matematik? 
Mat Rofa Isamil (2004) menjelaskan bahawa matematik ialah koleksi ilmu yang dibina berdasarkan aksiom, yang mengkaji hubungan antara aspek kualitatif dengan aspek kuantitatif yang dibina secara deduksi atau induksi. Matematik mempunyai banyak cabang yang lebih kecil seperti aritmetik, mantik, geometri, astronomi, muzik dan yang seumpamanya. Namun begitu, Abdul Latif Samian (1999) membahas matematik berkisar kepada dua aspek iaitu istilah dan perkembangan.

Istilah mathematics berasal daripada bahasa Latin MathematicusMathematicus dalam bahasa Latin berakar umbi kepada bahasa Yunani Mathematikos. Istilah ‘Mathematikos’ itu berpunca daripada istilah ‘manthanein’ yang bermaksud ‘mempelajari’. Istilah ‘manthanein’ juga bermaksud ‘menumpukan perhatian sepenuhnya’, di samping maksud-maksud lain seperti ‘ketepatan yang jitu’ dan ‘keyakinan’. Menurut Prof. Osman Bakar dalam Abdul Latif Samian (1999), al Farabi menamakan sains matematik sebagai ‘ulum al-ta’alim. Cabang-cabang ‘ulum al-ta’alim ialah aritmetik (‘ilm al-adad)geometri (‘ilm al-handasah)optik (‘ilm al-manazir)ilmu kaji benda-benda di langit (‘ilm al-nujum)ilmu muzik (‘ilm almusiqa)ilmu mengukur berat (‘ilm al-athqal) dan ‘ilm al-hiyal iaitu ilmu membuat alat-alat untuk cabang-cabang ‘ulum al-ta’alim.

Perkembangan matematik boleh dilihat dalam Tamadun Purbakala Lembah Nil. Pandangan hidup dalam tamadun ini dipengaruhi oleh pandangan Haramisah (Abdul Latif Samian, 1999).  Menurut pandangan Haramisah ini, matematik dilihat sebagai ilmu yang dapat memudahkan fahaman pengamalnya tentang adanya tahap-tahap realiti. Tahap realiti yang dimaksudkan ialah tahap realiti dunia luaran iaitu tahap peringkat terendah dan tahap realiti tahap tertinggi iaitu zat Tuhan. Bidang-bidang ilmu matematik Mesir ini telah dibawa ke Yunani oleh orang-orang Yunani yang belajar ilmu ini di Lembah Nil. Tokoh-tokoh matematik yang terkenal dalam tamadun Yunani ialah Phytagoras, Plato dan Aristotle.  Selanjutnya, kebanyakan bidang ilmu matematik Yunani ini kemudiannya telah sampai ke dalam tamadun Islam sekitar tahun 800 M. Tokoh-tokoh terkemuka dalam bidang matematik ketika itu antaranya ialah al-Kindi, al-Biruni, al-Battani, al-Karkhi, ibn Khaldun, al-Ikhwan as-Safa, al-Urdi, ibn Shatir, Nasiruddin al-Tusi, al-Haytham dan al-Khwarizmi. Setelah itu, barulah bidang matematik ini sampai ke Eropah melalui penterjemahan oleh orang-orang Eropah. Matematik yang sampai ke Eropah ketika itu berkembang dalam ruang lingkup agama Islam. Setiap perkembangan dalam pelbagai tamadun yang telah disebutkan sebelum ini, memandang matematik dalam dimensi yang berlainan. Takrif tentang matematik tidak ada yang benar-benar komprehensif dan sesuai untuk semua tempat dan masa.  Perubahan ini berlaku disebabkan oleh faktor luaran dan dalaman.  Akan tetapi, matematik masih lagi berteraskan konsep-konsep asas berkaitan nombor dan geometri.  Aktiviti peniskalaan masih lagi menjadi aktiviti utama dalam bermatematik.         

1.4          Kesimpulan
Bab ini telah pun membincangkan tentang bidang falsafah matematik, maksud falsafah dan matematik.  Bidang falsafah matematik merupakan bidang yang masih baru khususnya di Malaysia.  Perbincangan tentang falsafah dan matematik dalam membincangkan maksudnya telah memberikan khazanah ilmu yang cukup luas bagi kita untuk terus mengkajinya.

2.0 INTUISISME

2.1                  Pendahuluan
Bab ini akan membincangkan tentang sejarah perkembangan awal intuisisme, intuisisme Brouwer dan kritikan terhadap falsafah ini.

2.2          Sejarah Perkembangan Awal Intuisisme
Intuisisme bermaksud keupayaan seseorang untuk memahami suatu masalah tanpa penaakulan formal, sama ada yang bersifat induksi ataupun deduksi.  Pengetahuan yang diperoleh melalui intuisi, sering dikaitkan dengan pengetahuan yang datang serta merta, jelas dan diyakini kesahihannya.  Pada peringkat awal, Rene Descartes salah seorang ahli falsafah yang terkenal ada menyentuh persoalan intuisi ini. Kaitan falsafah Descartes dalam perkembangan awal intuisisme ialah penekanan beliau terhadap aktiviti berfikir. Descartes menulis dalam bukunya Rules for the Direction of the Mind, “...Pemahaman kita boleh bertukar kepada ilmu pengetahuan tanpa kita perlu merasa takut melakukan kesilapan. Ada dua cara pemahaman boleh menjadi ilmu pengetahuan, iaitu melalui intuisi dan deduksi. Saya tidak bermaksud bahawa intuisi sebagai maklumat-maklumat yang sering berubah yang diperoleh melalui deria rasa (sic) ataupun pendapat yang diperoleh melalui khayalan yang berlebihan, tetapi yang saya maksudkan dengan intuisi itu adalah memahami sesuatu yang sangat jelas dan unik, sehingga tidak ada ruang untuk meragui kebenaran yang dimaksudkan oleh objek pemikiran itu...”.  Menurut Joachim, H. H. (1957) “...Descartes speaks at times as if intuitus and deductio were two quite distinct powers, faculties, or activities of the mind. It is, however, unlikely that he ever held so crude a view, or, if he did, he soon abandoned it. Nevertheless, he begins by characterizing intuitus as a distinct act or function of mind directed upon a distinct and special kind of object. It is intellectual 'seeing' and has a certainty peculiar to itself, which must not be confused with the vividness of sense-perception or imagination”.  Selain Descartes, ahli falsafah matematik yang turut menyentuh tentang intuisi ialah Immanuel Kant (1724-1804), Leopold Kronecker (1823-1891) dan Jules Henri Poincare (1854-1912).
2.3          Intuisisme Brouwer
Intuisisme sebagai salah satu aliran falsafah matematik yang sistematik mula diperjuangkan oleh seorang anak murid Kronecker bernama Luitzen E.J. Brouwer (1881-1966).  Brouwer memperjuangkan aliran falsafah ini apabila selesai menyiapkan tesis Ph.D beliau yang bertajuk On the Foundations of Mathematics (1907).  Aliran ini selaras dengan falsafah umum yang dicetuskan oleh Immanuel Kant (1724-1804). Intusionis mendakwa bahawa matematik berasal dan berkembang di dalam fikiran manusia. Ketepatan dalil-dalil matematik tidak terletak pada simbol-simbol di atas kertas, tetapi terletak dalam akal fikiran manusia. Hukum-hukum matematik tidak ditemui melalui pemerhatian terhadap alam, tetapi ditemui dalam fikiran manusia.  Brouwer konsisten dengan falsafahnya. Hal ini dinyatakannya apakah matematik perlu diselesaikan agar sesuai atau tidak dengan matematik klasik adalah soalan yang kurang penting lagi dan tidak dijawab. Pandangannya terhadap matematik tradisional, dia menganggap dirinya hanya sekadar menjadi seorang tukang semak. Disimpulkan, di mana aritmetik intusionistik adalah bahagian (sub-sistem) dari aritmetik klasik, namun hal ini tidak berlaku bagi analisis.

Walau bagaimanapun,  tidak semua analisis klasikal diterima atau difahami secara intusionistik, tetapi tidak ada analisis intusionistik secara klasik diterima.  Brouwer mengambil langkah ini dengan segala akibatnya sepenuh hati.  Ini bukan bererti pandangan Brouwer ini tidak ada yang menyokong. Di luar negara Belanda, pandangan ini disokong oleh Herman Weyl.

Brouwer memegang prinsip bahawa matematik adalah aktiviti tanpa perlu diutarakan (languageless) yang penting, dan bahasa itu sendiri hanya dapat memberi gambaran-gambaran tentang aktiviti matematikal setelah ada fakta.  Hal ini membuat Brouwer tidak mengendahkan kaedah aksiomatik yang memegang peranan utama dalam matematik. Membina logik sebagai kajian tentang pola dalam linguistik yang diperlukan sebagai jambatan bagi aktiviti matematik, sehingga logik bergantung pada matematik (suatu kajian tentang pola) dan bukan sebaliknya. Semua itu digunakan sebagai pertimbangan dalam memilah antara matematik dan metamatematik (istilah yang digunakan untuk 'matematik peringkat kedua'), yang didiskusikannya dengan David Hilbert.

Berdasarkan pandangan ini, Brouwer siap merombak kembali teori himpunan Kant. Ketika usaha ini mula dilakukan dengan 'membongkar' kategori bilangan sekunder (bilangan ordinal tak terhingga / infinite) dan kategori bilangan ordinal infiniti yang lebih besar, tapi juga gagal. Disedari bahawa kaedahnya tidak berlaku dan tidak dapat menyelesaikan kategori-kategori bilangan lebih tinggi dan hanya meninggalkan bilangan ordinal terbatas (finite) dan tidak dapat diselesaikan atau terbuka (open-ended) bagi sekumpulan bilangan ordinal tak terhingga/ infinite.

Tetap konsisten dengan pandangan falsafahnya, Brouwer cuba membuat semua itu dan mahu memahami matematik apa adanya. Akhirnya dia juga mahu menerima prinsip dalam logik, prinsip tidak termaktub di tengah (PEM / Principle of the Excluded Middle), salah satu tulisanannya pada tahun 1908, The Unreliability of The Logical Principles, Brouwer mengformulasikan, dalam istilah-istilah umum, kritikannya terhadap PEM.   Walaupun dalam bentuk sederhana, prinsip yang tidak akan mencetuskan percanggahan, dimana Brouwer memberikan contoh-contoh, diucapkan, tanpa ada alasan positif untuk menerima bahawa hal itu benar dan sahih.

Inovasi ini memberi intuisisme mempunyai ruang gerak lebih besar daripada matematik konstruktif aliran-aliran yang lain (termasuk di sini disertasi Brouwer) adalah pilihan-pilihan dalam melihat suatu deret. Banyak diketahui bahagian-bahagian bilangan tak terhingga (atau objek-objek matematik lain) dipilih mendahului yang lain oleh setiap matematik sesuai keinginan mereka masing-masing. Memilih suatu bahagian memberi mereka impresi awal secara intuisi menerima objek yang ditulisnya pada buku yang terbit pada tahun 1914. Prinsip yang membuat secara matematik mudah dikerjakan, prinsip berterusan, yang dirumuskan pada kuliah Brouwer pada tahun 1916.

Tujuan utama memilih bahagian merupakan rekonstruksi analisis; titik-titik dalam (bidang) kontinuum (bilangan-bilangan nyata) yang dikenalpasti dengan memilih bahagian yang memenuhi syarat-syarat keadaan-keadaan tertentu. Memilih pelbagai pilihan bahagian boleh dilakukan dengan menggunakan alat wang disebut dengan 'spread', yang mempunyai fungsi serupa dengan analisis klasik Cantorian dan awalnya Brouwer menggunakan istilah 'gabung' ('himpunan') untuk pelbagai sebaran.  Oleh itu, untuk mengukuhkan teori sebaran dan teori titik-titik ini yang digunakan sebagai dasar, termaktub dalam dua makalah yang diterbitkan pada tahun 1918/1919, Founding Set Theory Independently of the Principle of the Excluded Middle.

Selain itu, murid Brouwer yang mempunyai pengaruh besar pada perkembangan intuisionisme falsafah matematik adalah Arend Heyting. Heyting membina sebuah formalisasi logik intuisionisme yang sangat tepat. Sistem ini dinamakan "Predikat Kalkulus Heyting".  Heyting menegaskan bahawa dari andaian metafizik yang asal dalam kebenaran realism-logik klasik, bahasa matematik klasik adalah pengertian faktor-faktor objektif syarat-syarat kebenaran yang terbaik.  Semantik matematik klasik menggambarkan suatu keadaan dalam kenyataan benar atau salah.  Semantik seperti ini tidak tepat untuk intuisinisme. Justeru, sebagai pengganti, bahasa intuisionisme seharusnya difahami dalam faktor-faktor syarat-syarat penyelesaian. Semantik akan menggambarkan suatu perhitungan seperti sebuah penyelesaian kanonikal untuk setiap permasalahan.

Heyting dalam bukunya "Intuitionism" mengemukakan pendapat Brouwer, bahasa adalah media tidak sempurna untuk menyampaikan pembinaan nyata matematik. Sistem formalnya adalah dirinya sendiri sebagai sebuah legitimasi pembinaan matematik, tetapi satu yang tidak diyakini sistem formal menggambarkan secara kekal domain pemikiran matematik.  Pada suatu penemuan kaedah baru membolehkan kita untuk memperluaskan sistem formal.  Heyting menegaskan logik bergantung pada matematik bukan pada yang lain.  Oleh kerana itu, Heyting tidak bermaksud kerjanya pada logik untuk menyusun pertimbangan intuisionistik.

Selain itu ahli falsafah matematik Dummett, menyatakan matematik dan logik adalah linguistik dari awal. Falsafahnya lebih kepada pada logik intuisionistik daripada matematik itu sendiri.  Akan tetapi, seperti Brouwer, tetapi tidak seperti Heyting, Dummet tidak mempunyai orientasi memilih. Dummet menjelajah matematik klasik dengan menggunakan bentuk pemikiran yang tidak sah pada suatu jalan legitimasi penguraian pernyataan alternatifnya. Ia mencadangkan beberapa pertimbangan mengenai logik adalah benar yang pada akhirnya harus bergantung pada erti soalan. Ia juga mengguna pakai pandangan yang diperolehi secara meluas, yang kemudian disebut sebagai terminologi logik.

Dummet menegaskan bahawa erti suatu kenyataan tidak boleh mengandungi suatu unsur yang tidak menunjukkan penggunaannya. Justeru, untuk membuatnya, harus berdasarkan pemikiran individu yang memahami erti tersebut. Jika dua individu secara bersama bersetuju dengan penggunaan pernyataan yang dibuat, maka mereka pun bersetuju ertinya. Alasannya bahawa erti pernyataan mengandungi aturan instrumen komunikasi antara individu. Jika seorang individu dikaitkan dengan simbol matematik atau formula, di mana hubungan tersebut tidak berdasarkan kepada penggunaan, kemudian dia tidak dapat menyampaikan muatan tersebut dengan erti simbol atau formula tersebut, maka penerima tidak akan dapat memahaminya.  Acuan erti pernyataan matematik secara umum, harus mengandungi keupayaan untuk menggunakan kenyataan pada alur yang benar. Pemahaman seharusnya dapat disampaikan kepada penerima.  
           
2.4          Kritikan Terhadap Falsafah Intuisisme
Bantahan terhadap aliran ini adalah bahawa pandangan kaum intusionis tidak memberikan gambaran yang jelas bagaimana matematik sebagai pengetahuan intuitif bekerja dalam fikiran. Konsep-konsep mental seperti cinta dan benci berbeza-beza antara manusia yang satu dengan yang lain. Menurut Brouwer, dasar dari intuisionisme adalah fikiran. Namun pemikiran-pemikiran yang dicetuskannya banyak dipengaruhi oleh pandangan Immanuel Kant. Matematik ditakrifkan oleh Brouwer sebagai aktiviti berfikir secara bebas, namun sesuatu aktiviti yang didapati dari intuisi pada suatu ketika tertentu. Selain itu, dalam pandangan intuisionisme tidak ada realisme terhadap objek-objek dan tidak ada bahasa yang menyatukan, sehingga boleh dikatakan tidak ada penentu kebenaran matematik diluar aktiviti berfikir. Kedudukan hanya berlaku ketika subjek dapat dibuktikan kebenarannya (dibawa keluar dari kerangka pemikiran). Umumnya Brouwer mendedahkan bahawa "tidak ada kebenaran tanpa dilakukan pembuktian".

2.5          Kesimpulan
Bab ini telah pun membincangkan berkenaan sejarah perkembangan awal intuisisme, intuisisme Brouwer dan kritikan terhadap falsafah ini.  Berteraskan kepercayaan mereka bahawa hakikat matematik ialah intuisi manusia, maka intuisisme membina matematik berasaskan konsep-konsep yang jelas.  Mereka berjaya menunjukkan bahawa ahli matematik mesti lebih berhati-hati tentang erti kewujudan dalam bermatematik.  Tafsiran tentang set juga telah dikukuhkan iaitu set sebagai kaedah dan bukannya sebagai koleksi.  Di samping itu, mereka dapat menunjukkan bahawa bahasa formal bukanlah aspek asasi yang mesti ada pada matematik sebagaimana anggapan masyarakat umum ketika itu. 

3.0 LOGIKISME

3.1          Pendahuluan
Bab ini akan membincangkan tentang sejarah perkembangan awal logikisme, logikisme Russell dan Whitehead dan kritikan terhadap falsafah ini.

3.2          Sejarah Perkembangan Awal Logikisme
Logikisme merupakan salah satu daripada aliran pemikiran (schools of thought) di dalam falsafah matematik. Logikisme ialah teori falsafah mengenai status sesuatu kebenaran dalam matematik iaitu sama ada bersifat logik atau analisis. Ia menyatakan teori iaitu matematik sebagai pengembangan kepada logik yang mana sebilangan atau semua unsur matematik juga boleh diturunkan kepada logik.  Logik berasal daripada perkataan Greek iaitu logos yang bermaksud fikiran, idea, hujah, alasan atau prinsip.  Menurut logikisme, matematik itu bersifat a priorori atau matematik sering dipandang sebagai paradigma pengetahuan a priori, iaitu pengetahuan yang mendahului dan bebas daripada pengalaman. Matematik itu sendiri tidak berdasarkan pada sebarang pengalaman atas kejadian yang nyata di alam ini. Konsep-konsep dan objek-objek matematik boleh didefinisikan dalam terminologi logik. Dengan definisi-definisi ini, teorem-teorem dalam matematik dapat diperolehi daripada prinsip-prinsip logik. Jadi menurut sudut pandangan ini, kebenaran matematik harus berdasarkan pada logik dan semua pernyataan matematik memerlukan kebenaran logik.  Ringkasnya, hakikat matematik adalah logik. Kemunculan logikisme adalah disebabkan ahli matematik tidak mahu menerima anggapan bahawa semua masalah matematik ialah masalah agama. Mereka mahu keluar daripada belenggu keagamaan dan mula mengutarakan pandangan bahawa kebenaran adalah sepatutnya berasaskan prinsip- prinsip logik. Kebenaran harus diperoleh melalui tatakaedah pemikiran dan bukannya melalui kaedah empirik. Kaedah empirik hanya menghasilkan teorem yang berubah-ubah mengikut peredaran zaman tetapi pernyataan logik adalah sentiasa benar.  Ahli matematik tahu bahawa pernyataan ialah sesuatu ayat yang sama ada benar atau palsu. Contoh pernyataan ialah ‘sama ada hari ini hujan atau tidak’; jika semua A ialah B, maka setiap A ialah B dan semua A sama dengan A.   

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) merupakan ahli matematik awal yang menyatakan bahawa wujud hubungan istimewa antara logik dan matematik.  Beliau percaya bahawa matematik boleh diterbitkan daripada logik.  Tidak ada bidang ilmu lain yang boleh memastikan kebenaran matematik seperti logik.  Umpamanya, beliau berpendapat bahawa antonim bagi sebarang pernyataan yang akan membawa kepada percanggahan ialah pernyataan yang menunjukkan kebenaran.  Contohnya, pernyataan ‘segiempat tepat mempunyai 4 sudut 90’ adalah benar. Antonim kepada pernyataan ini iaitu ‘segiempat tepat tidak mempunyai 4 sudut 90’ akan menjadikannya palsu.  Begitu juga sebaliknya.  Apa yang menarik dalam pandangan Leibniz ini ialah pendirian beliau bahawa logik boleh memberikan kebenaran pasti. Jika diambil kira anggapan yang kebenaran pasti begitu banyak terdapat dalam matematik, tidaklah menghairankan jika seseorang itu berpendapat bahawa matematik diterbitkan daripada logik.

Richard Dedekind (1831-1916) juga salah seorang ahli matematik yang membayangkan kepentingan logik terhadap matematik.   Beliau berhujah bahawa nombor bukanlah berpunca daripada intuisi manusia berkenaan ruang dan masa.  Sebaliknya pengetahuan tentang nomborlah yang memberikan kita pengetahuan yang mendalam dan terperinci tentang ruang dan masa.  Nombor ialah hasil pemikiran yang berpunca daripada tatacara manusia berfikir, iaitu logik.  Jadi, jika matematik khususnya pematematikan ialah aktiviti berfikir dan berfikir ada tatacaranya yang tersendiri, maka sesungguhnya matematik juga ialah hasil berfikir tatacara tersebut. Namun begitu, Leibniz dan Dedekind tidak mengembangkan kepercayaan mereka iaitu matematik ialah logik.

Salah seorang lagi tokoh logikisme adalah Gottlob Frege (1848-1925). Beliau yakin bahawa setiap pernyataan yang diketahui mesti memiliki suatu alasan atau hujah yang asas. Suatu pernyataan bersifat a priori (deduktif) jika ia adalah suatu hukum umum yang tidak dapat dibuktikan atau jika ia memiliki justifikasi bukti yang hanya bersandarkan pada hukum -hukum umum yang tidak dapat dibuktikan.  Suatu pernyataan bersifat analitik jika ia suatu hukum logik umum atau definisi atau ia memiliki suatu bukti yang bersandarkan hanya pada hukum-hukum logik umum dan definisi-definisi seperti demikian. Pandangan Frege mengisyaratkan bahawa hanya pernyataan-pernyataan yang dapat diketahui atau terjustifikasi saja yang dapat bersifat analitik atau a priori. Contohnya, ayat ‘Semua orang bujang tidak berkahwin’, kebenaran ayat tersebut dapat diketahui hanya dengan memeriksa pengertian ayat itu sahaja, tidak lebih dan tidak kurang. Walhal orang yang telah bercerai pernah berkahwin; kanak-kanak tidak layak untuk berkahwin kerana belum matang, ataupun istilah ‘belum sampai jodoh’.  Kebenaran matematik tersirat dalam logik.  Buku Frege yang bertajuk Fundamental Laws of Mathematics (1894), beliau berusaha menunjukkan bahawa konsep-konsep penting dalam aritmetik boleh diterbitkan daripada andaian-andaian logik.

Namun begitu, usaha Frege tidak mendapat sambutan ketika itu kerana istilah-istilah yang diperkenalkan oleh beliau sangat kompleks dan juga banyak simbol baru.  Akhirnya Frege mengakui bahawa beliau gagal dalam menunjukkan hakikat bahawa matematik ialah logik.  Kegagalan ini berpunca daripada penggunaan yang berleluasa konsep ‘set yang mengandungi kesemua set’ yang membawa kepada percanggahan.

3.3          Logikisme Russell dan Whitehead
Kesilapan Frege ini telah ditunjukkan oleh seorang ahli matematik, Bertrand Russell (1872- 1970) yang juga merupakan salah seorang ahli logik.  Konsep ‘set yang mengandungi kesemua set’ ialah konsep yang sangat mengelirukan.  Set mengandungi unsur - unsur. Contohnya, set A ialah set yang mengandungi ‘semua katalog’.  Set A itu sendiri juga merupakan sebuah katalog, iaitu sebuah katalog yang mempunyai senarai katalog-katalog. Akan tetapi, bagi set B, katakan set yang mengandungi ‘semua binatang’. Set B bukannya seekor binatang.

Russell memberikan contoh antinomi ini dengan contoh yang menarik yang dikenali sebagai ‘paradoks Russell’ dalam tahun 1918.  Paradoks ini juga dikenali sebagai paradoks tukang gunting rambut.  Menurut paradoks ini, dalam sebuah kampung, hanya ada seorang tukang gunting.  Tukang gunting ini hanya menggunting rambut mereka yang tidak menggunting rambut mereka sendiri. Ini adalah kenyataan umum kerana sekiranya kita menggunting rambut sendiri, ia akan menjadi tidak sempurna.  Persoalannya, siapa yang menggunting rambut tukang gunting itu? Kalau tukang gunting itu menggunting rambutnya sendiri, menurut definisinya ‘beliau hanya menggunting rambut mereka yang tidak menggunting rambut sendiri’.  Jadi sebagai tukang gunting, beliau tidak boleh menggunting rambut ‘orang yang menggunting rambutnya sendiri’.  Tetapi jika beliau tidak menggunting rambutnya sendiri, beliau layak untuk digunting oleh tukang gunting iaitu dirinya sendiri. Konsep ini sungguh membingungkan.  Ada ‘penyelesaian’ lain yang cuba diberikan seperti tukang gunting itu seorang yang botak.  Ini tidak menyelesaikan masalah kerana senantiasa ada tukang gunting yang tidak botak. Sesungguhnya, paradoks Russell ini mempunyai kesan yang mendalam terhadap penyelidikan tentang hakikat matematik.

Russell kemudiannya memperincikan program logikisme bersama-sama dengan rakannya, Alfred North Whitehead (1861-1947) lalu menghasilkan buku Principa Mathematica (1910-1913) yang menjadi kitab rujukan utama selepas Frege. Antara persoalan yang mereka ingin tangani ialah untuk mengenal pasti tatacara kebenaran suatu premis itu mengimplikasikan kebenaran premis yang lain.  Konsep implikasi yang digunakan oleh mereka ialah konsep implikasi kebendaan. Menurut konsep ini, jika U benar, maka R mesti benar atau ringkasnya, ‘Jika U, maka R’.  Premis yang palsu mengimplikasikan sebarang implikasi lain.  Contohnya, ‘ Jika g ialah nombor genap, maka 2g ialah nombor genap’.  Jika U benar, tidak mungkin R palsu.  Oleh itu, untuk sebarang nombor genap, gandaannya juga menghasilkan nombor genap.  Akan tetapi katakanlah U palsu, iaitu ‘g bukan nombor genap’ seperti nombor 3 atau 22/3. Ini akan menghasilkan kesimpulan iaitu ‘2g ialah nombor genap’ dan ‘2g bukan nombor genap.  Justeru, dengan menggunakan sesuatu sifat set untuk mendefinisikan sesuatu set, mereka berjaya mendefinisikan juga set tak terhingga kerana menurut kaedah definisi demikian, mereka tidak perlu menamakan satu per satu kesemua setiap unsur yang ada di dalam sesuatu set itu.  Russell dan Whitehead telah cuba untuk mengatasi masalah Frege untuk mendapat matematik yang bebas daripada keraguan.  Secara terperincinya, mereka mengemukakan ‘teori penjenisan’ untuk menangani masalah ‘set yang mengandungi kesemua set’.
           
3.4          Kritikan Terhadap Falsafah Logikisme
Menurut Kline (1980) dalam Abdul Latif Samian (1999), teori penjenisan mereka ini menimbulkan masalah apabila digunakan untuk menerangkan beberapa konsep matematik.  Antara masalahnya, ia menyukarkan penaakulan matematik dalam teori nombor.  Berdasarkan masalah ini, mereka mengetengahkan lagi aksiom yang dikenali sebagai aksiom penurunan.  Namun begitu, menurut seorang ahli logik yang terkenal, Frank Plumpton Ramsey, aksiom ini tidak dapat dibuktikan sebagai aksiom logik. Maksudnya, kedudukan aksiom ini sebagai aksiom logik tidaklah jelas.  Akhirnya, pada tahun 1959, Russell mengakui dalam bukunya, My Philosophical Development bahawa keyakinan yang beliau fikir boleh ditemui dalam matematik akhirnya hilang bersama-sama dengan segala kekusutan yang timbul.  Akhirnya beliau sendiri mengalami kepahitan dengan kenyataannya yang terkenal, iaitu ‘matematik ialah satu-satunya bidang ilmu yang kita tidak akan tahu apa sebenarnya yang kita cakapkan dan sama ada perkara yang dicakapkan itu benar’.

3.5          Kesimpulan
Bab ini telah pun membincangkan tentang sejarah perkembangan awal logikisme, logikisme Russell dan Whitehead dan kritikan terhadap falsafah ini.  Aliran falsafah logikisme diketengahkan sebagai usaha ahli matematik Eropah, terutamanya Bertrand Russell, untuk mengenal pasti hakikat matematik selepas bidang ilmu ini terkeluar dari mandala keagamaan sejak akhir abad yang ke-19.  Akan tetapi, perlu dicatat bahawa usaha ini tidak beroleh kejayaan dan diakui sendiri oleh Russell yang merupakan seorang atheis. 

4.0 FORMALISME

4.1          Pendahuluan
Bab ini akan membincangkan tentang sejarah perkembangan awal formalisme, formalisme David Hilbert dan kritikan terhadap falsafah ini.

4.2          Sejarah Perkembangan Awal Formalisme
Formalisme melihat matematik sebagai satu disiplin yang formal dan sistematik yang diwakili oleh simbol. Falsafah ini adalah tergolong di dalam golongan absolutist (falsafah bebas nilai).  Golongan formalisme sentiasa melibatkan pembentangan yang jelas tentang langkah-langkah yang digunakan dalam mana-mana prosedur diikuti dengan usaha yang meluas untuk memastikan penghafalan.

Menurut Brown, J.R. (2008), “The whole school of (early or pre-Hilbert) formalism was crushed by Frege (1884). I’ll only mention two of Frege’s points. First, mathematics couldn’t possibly be about individual symbols (tokens) but must instead be about classes of symbols (types). The string: ♠♠♠♠♠ consists of five distinct tokens all of the same type. Tokens are concrete individuals, but types are abstract. The tokens may themselves be meaningless symbols, the very thing that nominalists hanker after, but types will give them heartburn. If we’re going to have abstract objects anyway, we might as well hang for an eggplant as an okra.  Second, the meta-theory of games can be meaningful mathematics. (This, perhaps, was Frege’s strongest point.) For example, consider: ‘The proof of the (above) theorem is five steps long.’ ‘The king and two knights cannot force mate.’ These are meta-theorems about games – and they are meaningful. The game of chess and the formal system S are perhaps meaningless games in the very sense that formalists claim. But the meta-claims about those meaningless games are themselves not meaningless. They are mathematical and they have an objective truth-value”.

4.3          Formalisme David Hilbert
David Hilbert (1862-1943) menghabiskan masanya sepanjang tahun 1920 dengan membuat kajian berkaitan falsafah matematik. Aksiom logik yang diutarakan oleh Hilbert tidak berbeza daripada Russell, malahan Hilbert telah membuat banyak aksiom. Menurut Hilbert, logik sahaja tidak boleh dijadikan sandaran untuk membuat kesimpulan dalam matematik.  Beliau berpendapat bahawa cara terbaik untuk ‘menyelamatkan’ matematik ialah dengan menganggap matematik sebagai lebih daripada pengetahuan yang nyata, iaitu sebagai disiplin formal yang simbolik.  Deduksi adalah cara memanipulasi simbol-simbol tadi dan mesti selaras dengan prinsip-prinsip logik.  Hilbert telah memutuskan bahawa semua pernyataan logik dan matematik mestilah dalam bentuk simbolik.  Ini bagi menghindarkan kekaburan bahasa dan penggunaan yang hanya berdasarkan pengertian intuisi dan untuk mencapai ketepatan pembuktian yang objektif.  Beliau yakin pendekatan simbolik ini boleh mengelakkan paradoks.  Selain itu, Hilbert juga menganggap simbol-simbol ini sebagai unsur-unsur sempurna yang diperlukan untuk membina semua matematik.  Walau bagaimanapun, beliau percaya bahawa dalam alam nyata ini hanya objek-objek yang terhingga sahaja yang wujud.  Justeru, perkara penting ialah menyusun unsur nombor-nombor terhingga.

Sehubungan dengan itu, Hilbert berpendapat bahawa nombor-nombor tak nisbah tidak mempunyai pengertian intuisi sebagai nombor.  Malahan, boleh memperkenalkan konsep panjang sebagai ukuran tak nisbah.  Pada tahun 1870, Hilbert telah menggunakan pendekatan berkenaan dengan nombor kompleks, iaitu penglibatan nombor -1.  Semua tanda dan simbol konsep dan juga operasi adalah bebas daripada pengertian intuitif.  Oleh itu, sebagai tujuan asas pemikiran matematik, simbol dan usulan ini mestilah berhubung atau merupakan rangkaian simbol sahaja.

Umumnya, ahli formalis berusaha bagi mendapatkan kekonsistenan dengan mengabaikan pengertian simbol.  Mujurlah simbol logik telah berkembang sepanjang abad yang ke-19 dan awal abad ke-20, maka Hilbert mendapati alat yang beliau kehendaki.  Simbol seperti “~” untuk “tidak”, “.” untuk “dan”, “v” untuk “atau”, “à” untuk “mengimplikasikan” dan “Ǝ” untuk “wujud” telah digunakan pada masa itu.  Simbol-simbol ini tidak tertakrif sifatnya.

4.4          Kritikan Terhadap Falsafah Formalisme
Namun demikian, terdapat beberapa kritikan yang diajukan kepada pengikut-pengikut formalisme.  Salah satu kritikan yang diajukan kepada aliran ini ialah oleh Bertrand Russell dalam bukunya The Principles of Mathematics.  Menurut Russell, B. (1931), “Accordingly the symbols 0, 1, 2, ...do not represent one definite series, but any progression whatever. The
formalists have forgotten that numbers are needed, not only for doing sums, but for counting. Such propositions as " There were 12 Apostles" or "London has 6,000,000 inhabitants" cannot be interpreted in their system.  For the symbol " " may be taken to mean any finite integer, without thereby making any of Hilbert's axioms false ; and thus every number-symbol becomes infinitely ambiguous. The formalists are like a watchmaker who is so absorbed in making his watches look pretty that he has forgotten their purpose of telling the time, and has therefore omitted to insert any works.”

4.5          Kesimpulan
Bab ini telah pun membincangkan tentang sejarah perkembangan awal formalisme, formalisme David Hilbert dan kritikan terhadap falsafah ini.  Kritikan yang ditujukan kepada aliran formalisme telah menyebabkan aliran fahaman itu kini semakin terpinggir.  Akan tetapi, menurut kajian Wan Zah Wan Ali, et. al. (2005), yang mengkaji kefahaman guru tentang nilai matematik, mendapati bahawa mazhab pemikiran logikisme dan formalisme merupakan corak pemikiran matematik yang menjadi pegangan responden.  Kajian deskriptif yang menggunakan kaedah kualitatif ini dilakukan ke atas empat orang guru di Selangor dan Wilayah Persekutuan. Data dikumpulkan melalui temubual mendalam yang dilakukan beberapa kali sehingga mencapai tahap ketepuan data yang dikehendaki. Transkripsi temubual ini dianalisis secara induktif.

5.0 KESIMPULAN

Setelah membincangkan falsafah matematik berkaitan intuisisme, logikisme dan formalisme, maka dapat difahami tokoh-tokoh yang terlibat seperti Brouwer, Russell dan Hilbert ingin mengemukakan hakikat sebenar matematik.  Mengakhiri perbincangan, penulis ingin melemparkan satu persoalan, apakah takrif yang paling tepat untuk matematik? Itulah persoalan yang masih bermain dan akan terus bermain dalam minda para pengkaji. Umum mengetahui, matematik merupakan koleksi ilmu yang luas di bawah induk falsafah. Matematik tidak hanya terbatas kepada aritmetik dan geometri sahaja. Akan tetapi, aritmetik dan geometri merupakan dua komponen popular dalam matematik. Masih banyak lagi cabang matematik yang lain termasuklah mantik, astronomi, muzik, trigonometri dan analisis. Kita telah melihat melalui perbincangan sebelum ini, pelbagai takrifan diberikan untuk matematik, namun dalam perkembangan kemudian, telah muncul cabang matematik lain yang tidak termasuk dalam takrifan. Golongan masyarakat awam memahami matematik sebagai ilmu pengiraan, sedangkan pengiraan hanya melibatkan cabang aritmetik sahaja yang merupakan komponen kecil matematik. Penghujahan dan penakulan mantik atau analisis merupakan unsur asas matematik tetapi bukan berbentuk pengiraan. Tambahan lagi, matematik seperti muzik melibatkan irama dan kesenian. Keragaman takrif matematik berkait pula dengan sistem nilai pentakrifnya yang melihat matematik menerusi sudut pandangnya. Barat menganggap matematik sebagai ilmu abstrak yang menganalisis proposisi kuantitatif menerusi pengoperasi mantik, sedangkan matematik di sisi ilmuwan silam dilihat sebagai penghubung antara sains dan metafizik yang sarat dengan nilai sama ada dari segi kualitatif, kuantitatif atau kedua-duanya sekali. Berbalik kepada perbincangan di atas, walaupun ketiga-tiga mazhab mempunyai perbezaan pendapat dalam mengemukakan apakah matematik itu, namun kita tidaklah dengan mudah boleh menyalahkan pendapat-pendapat tersebut. Kajian secara menyeluruh perlu dibuat untuk menganalisis keunggulan dan kekuranganya. Ini memerlukan pengorbanan masa, tenaga dan fikiran untuk memahaminya secara benar. Apa yang boleh dikatakan disini, sebagai komponen falsafah, matematik perlulah mempunyai unsur kuantitatif, kualitatif, abstraksi, analisis dan sistem nilai. Sebagai masyarakat Asia pula khususnya di Malaysia, matematik memiliki takrifan yang tersendiri yang tentu sangat berbeza dengan takrifan Barat walaupun ada domain sepunya yang berbentuk sejagat.

BIBLIOGRAFI

Abdul Latif Samian (1999).  Falsafah Matematik.  Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.
Brown, J.R. (2008).  Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures.  New York & London: Routledge Taylor & Francis Group.
Joachim H, H. (1957).  Descartes’s Rules for the Direction of the Mind.  London: George Allen & Unwin Ltd.
Mat Rofa Ismail (2004).  Matematik Merentas Tamadun.  Kuala Lumpur:  Dewan Bahasa dan Pustaka.
Nolt, J. & Rohatyn, D. (1988).  Mathematics & Cognition.  Cambridge: Cambridge Univ. Press. 
Russell, B. (1931).  The Principles of Mathematics.  New York: W.W. Norton & Company, Inc. 
Wan Zah Wan Ali, et.  al. (2005).  Kefahaman Guru Tentang Nilai Matematik.  Jurnal Teknologi, 43(E) Disember. 2005: 45-62.

Memerihalkan inovasi teknologi

Inovasi teknologi merujuk kepada penghasilan dan penggunaan idea, pengetahuan, serta kemahiran teknologi untuk mencipta atau memperbaharui p...