TIGA FALSAFAH MATEMATIK: INTUISISME, LOGIKISME DAN FORMALISME

Oleh:

Azlan Bin Budun, Jolly Geofrey, Marinus Joe Peter & Zulhariszan Abd. Manan

1.0 PENGENALAN

1.1          Pendahuluan

Bidang falsafah matematik merupakan bidang pengetahuan yang diperolehi hasil daripada pemikiran ahli falsafah tentang matematik itu sendiri. Bidang ini agak baru diperkenalkan di rantau ini, tidak seperti bidang-bidang matematik yang lain yang telah lama bertapak seperti Geometri dan Teori Nombor. Negara-negara Barat khususnya, falsafah matematik telah lama diajar di pusat-pusat pengajian tinggi dalam pelbagai jabatan seperti di Jabatan Matematik sendiri ataupun di Jabatan Falsafah.

Anggapan tentang matematik itu sendiri merupakan sebab utama bidang falsafah matematik ini lambat tersebar di rantau ini. Pada umumnya, masyarakat beranggapan bahawa matematik ialah ilmu teknikal yang hanya berkaitan dengan nombor dan tidak dipengaruhi oleh sebarang nilai. Oleh itu, tidak ada maknanya jika kita memperkatakan falsafah matematik itu. Selain itu, penjajahan mental di kalangan ahli matematik tempatan yang merasa kerdil untuk memberikan ataupun menaja pembaharuan-pembaharuan dalam matematik yang lebih sesuai dengan budaya tempatan. Golongan ahli matematik ini lebih selesa mengambil jalan mudah dengan hanya menyampaikan kesemua ilmu matematik yang dipelajari daripada sesetengah pusat pengajian tinggi di Barat.

Umumnya, mentaliti manusia yang dibelenggu dengan penjajahan sentiasa memandang tinggi kepada bangsa yang menjajahnya, sehingga golongan ini memandang ilmu matematik yang disahkan oleh universiti-universiti tertentu di Barat sahajalah yang boleh dianggap sebagai ilmu matematik yang sebenar. Oleh yang demikian, ahli matematik perlu meneliti kembali asas dan andaian matematik yang dihayati oleh mereka selama ini secara langsung ataupun tidak langsung dan mengenal pasti sama ada relevan atau tidak relevan dengan perkembangan matematik tempatan. Penelitian kembali tentang gagasan matematik tidak mungkin terlaksana tanpa kesedaran yang mendalam tentang falsafah yang mendasari ilmu matematik itu sendiri.

1.2          Apakah Itu Falsafah?

Menurut Abdul Latif Samian (1999), dari segi etimologinya, falsafah berasal daripada sebutan Latin (sic), ‘philosophia’ yang bermaksud cinta kepada kebenaran. Mat Rofa Ismail (2004) pula menyatakan, falsafah atau ‘philosophia’ dalam bahasa Yunani (sic) bermaksud mencintai ilmu secara mendalam. Terdapat sebuah kisah menarik berkenaan Putera Leon dengan Pithagoras dalam pertemuan mereka di Sukan Olimpik. Putera Leon bertanya kepada Pithagoras maksud falsafah. Pithagoras menjelaskan: “Wahai Putera Leon, kehidupan ini bolehlah dibandingkan dengan Sukan Olimpik ini. Ada yang datang untuk kemenangan, ada pula yang datang untuk kemasyhuran nama, tetapi hanya sebahagian kecil daripada mereka yang datang untuk memerhati, mengkaji, memahami apa yang berlaku di sini. Golongan terakhir inilah yang dinamai ahli falsafah” (Mat Rofa Ismail, 2004). 

1.3          Apakah Itu Matematik? 

Mat Rofa Isamil (2004) menjelaskan bahawa matematik ialah koleksi ilmu yang dibina berdasarkan aksiom, yang mengkaji hubungan antara aspek kualitatif dengan aspek kuantitatif yang dibina secara deduksi atau induksi. Matematik mempunyai banyak cabang yang lebih kecil seperti aritmetik, mantik, geometri, astronomi, muzik dan yang seumpamanya. Namun begitu, Abdul Latif Samian (1999) membahas matematik berkisar kepada dua aspek iaitu istilah dan perkembangan.

Istilah mathematics berasal daripada bahasa Latin Mathematicus. Mathematicus dalam bahasa Latin berakar umbi kepada bahasa Yunani Mathematikos. Istilah ‘Mathematikos’ itu berpunca daripada istilah ‘manthanein’ yang bermaksud ‘mempelajari’. Istilah ‘manthanein’ juga bermaksud ‘menumpukan perhatian sepenuhnya’, di samping maksud-maksud lain seperti ‘ketepatan yang jitu’ dan ‘keyakinan’. Menurut Prof. Osman Bakar dalam Abdul Latif Samian (1999), al Farabi menamakan sains matematik sebagai ‘ulum al-ta’alim. Cabang-cabang ‘ulum al-ta’alim ialah aritmetik (‘ilm al-adad), geometri (‘ilm al-handasah), optik (‘ilm al-manazir), ilmu kaji benda-benda di langit (‘ilm al-nujum), ilmu muzik (‘ilm almusiqa), ilmu mengukur berat (‘ilm al-athqal) dan ‘ilm al-hiyal iaitu ilmu membuat alat-alat untuk cabang-cabang ‘ulum al-ta’alim.

Perkembangan matematik boleh dilihat dalam Tamadun Purbakala Lembah Nil. Pandangan hidup dalam tamadun ini dipengaruhi oleh pandangan Haramisah (Abdul Latif Samian, 1999).  Menurut pandangan Haramisah ini, matematik dilihat sebagai ilmu yang dapat memudahkan fahaman pengamalnya tentang adanya tahap-tahap realiti. Tahap realiti yang dimaksudkan ialah tahap realiti dunia luaran iaitu tahap peringkat terendah dan tahap realiti tahap tertinggi iaitu zat Tuhan. Bidang-bidang ilmu matematik Mesir ini telah dibawa ke Yunani oleh orang-orang Yunani yang belajar ilmu ini di Lembah Nil. Tokoh-tokoh matematik yang terkenal dalam tamadun Yunani ialah Phytagoras, Plato dan Aristotle.  Selanjutnya, kebanyakan bidang ilmu matematik Yunani ini kemudiannya telah sampai ke dalam tamadun Islam sekitar tahun 800 M. Tokoh-tokoh terkemuka dalam bidang matematik ketika itu antaranya ialah al-Kindi, al-Biruni, al-Battani, al-Karkhi, ibn Khaldun, al-Ikhwan as-Safa, al-Urdi, ibn Shatir, Nasiruddin al-Tusi, al-Haytham dan al-Khwarizmi. Setelah itu, barulah bidang matematik ini sampai ke Eropah melalui penterjemahan oleh orang-orang Eropah. Matematik yang sampai ke Eropah ketika itu berkembang dalam ruang lingkup agama Islam. Setiap perkembangan dalam pelbagai tamadun yang telah disebutkan sebelum ini, memandang matematik dalam dimensi yang berlainan. Takrif tentang matematik tidak ada yang benar-benar komprehensif dan sesuai untuk semua tempat dan masa.  Perubahan ini berlaku disebabkan oleh faktor luaran dan dalaman.  Akan tetapi, matematik masih lagi berteraskan konsep-konsep asas berkaitan nombor dan geometri.  Aktiviti peniskalaan masih lagi menjadi aktiviti utama dalam bermatematik.         

1.4          Kesimpulan

Bab ini telah pun membincangkan tentang bidang falsafah matematik, maksud falsafah dan matematik.  Bidang falsafah matematik merupakan bidang yang masih baru khususnya di Malaysia.  Perbincangan tentang falsafah dan matematik dalam membincangkan maksudnya telah memberikan khazanah ilmu yang cukup luas bagi kita untuk terus mengkajinya.

2.0 INTUISISME

2.1                  Pendahuluan

Bab ini akan membincangkan tentang sejarah perkembangan awal intuisisme, intuisisme Brouwer dan kritikan terhadap falsafah ini.

2.2          Sejarah Perkembangan Awal Intuisisme

Intuisisme bermaksud keupayaan seseorang untuk memahami suatu masalah tanpa penaakulan formal, sama ada yang bersifat induksi ataupun deduksi.  Pengetahuan yang diperoleh melalui intuisi, sering dikaitkan dengan pengetahuan yang datang serta merta, jelas dan diyakini kesahihannya.  Pada peringkat awal, Rene Descartes salah seorang ahli falsafah yang terkenal ada menyentuh persoalan intuisi ini. Kaitan falsafah Descartes dalam perkembangan awal intuisisme ialah penekanan beliau terhadap aktiviti berfikir. Descartes menulis dalam bukunya Rules for the Direction of the Mind, “...Pemahaman kita boleh bertukar kepada ilmu pengetahuan tanpa kita perlu merasa takut melakukan kesilapan. Ada dua cara pemahaman boleh menjadi ilmu pengetahuan, iaitu melalui intuisi dan deduksi. Saya tidak bermaksud bahawa intuisi sebagai maklumat-maklumat yang sering berubah yang diperoleh melalui deria rasa (sic) ataupun pendapat yang diperoleh melalui khayalan yang berlebihan, tetapi yang saya maksudkan dengan intuisi itu adalah memahami sesuatu yang sangat jelas dan unik, sehingga tidak ada ruang untuk meragui kebenaran yang dimaksudkan oleh objek pemikiran itu...”.  Menurut Joachim, H. H. (1957) “...Descartes speaks at times as if intuitus and deductio were two quite distinct powers, faculties, or activities of the mind. It is, however, unlikely that he ever held so crude a view, or, if he did, he soon abandoned it. Nevertheless, he begins by characterizing intuitus as a distinct act or function of mind directed upon a distinct and special kind of object. It is intellectual 'seeing' and has a certainty peculiar to itself, which must not be confused with the vividness of sense-perception or imagination”.  Selain Descartes, ahli falsafah matematik yang turut menyentuh tentang intuisi ialah Immanuel Kant (1724-1804), Leopold Kronecker (1823-1891) dan Jules Henri Poincare (1854-1912).

2.3          Intuisisme Brouwer

Intuisisme sebagai salah satu aliran falsafah matematik yang sistematik mula diperjuangkan oleh seorang anak murid Kronecker bernama Luitzen E.J. Brouwer (1881-1966).  Brouwer memperjuangkan aliran falsafah ini apabila selesai menyiapkan tesis Ph.D beliau yang bertajuk On the Foundations of Mathematics (1907).  Aliran ini selaras dengan falsafah umum yang dicetuskan oleh Immanuel Kant (1724-1804). Intusionis mendakwa bahawa matematik berasal dan berkembang di dalam fikiran manusia. Ketepatan dalil-dalil matematik tidak terletak pada simbol-simbol di atas kertas, tetapi terletak dalam akal fikiran manusia. Hukum-hukum matematik tidak ditemui melalui pemerhatian terhadap alam, tetapi ditemui dalam fikiran manusia.  Brouwer konsisten dengan falsafahnya. Hal ini dinyatakannya apakah matematik perlu diselesaikan agar sesuai atau tidak dengan matematik klasik adalah soalan yang kurang penting lagi dan tidak dijawab. Pandangannya terhadap matematik tradisional, dia menganggap dirinya hanya sekadar menjadi seorang tukang semak. Disimpulkan, di mana aritmetik intusionistik adalah bahagian (sub-sistem) dari aritmetik klasik, namun hal ini tidak berlaku bagi analisis.

Walau bagaimanapun,  tidak semua analisis klasikal diterima atau difahami secara intusionistik, tetapi tidak ada analisis intusionistik secara klasik diterima.  Brouwer mengambil langkah ini dengan segala akibatnya sepenuh hati.  Ini bukan bererti pandangan Brouwer ini tidak ada yang menyokong. Di luar negara Belanda, pandangan ini disokong oleh Herman Weyl.

Brouwer memegang prinsip bahawa matematik adalah aktiviti tanpa perlu diutarakan (languageless) yang penting, dan bahasa itu sendiri hanya dapat memberi gambaran-gambaran tentang aktiviti matematikal setelah ada fakta.  Hal ini membuat Brouwer tidak mengendahkan kaedah aksiomatik yang memegang peranan utama dalam matematik. Membina logik sebagai kajian tentang pola dalam linguistik yang diperlukan sebagai jambatan bagi aktiviti matematik, sehingga logik bergantung pada matematik (suatu kajian tentang pola) dan bukan sebaliknya. Semua itu digunakan sebagai pertimbangan dalam memilah antara matematik dan metamatematik (istilah yang digunakan untuk 'matematik peringkat kedua'), yang didiskusikannya dengan David Hilbert.

Berdasarkan pandangan ini, Brouwer siap merombak kembali teori himpunan Kant. Ketika usaha ini mula dilakukan dengan 'membongkar' kategori bilangan sekunder (bilangan ordinal tak terhingga / infinite) dan kategori bilangan ordinal infiniti yang lebih besar, tapi juga gagal. Disedari bahawa kaedahnya tidak berlaku dan tidak dapat menyelesaikan kategori-kategori bilangan lebih tinggi dan hanya meninggalkan bilangan ordinal terbatas (finite) dan tidak dapat diselesaikan atau terbuka (open-ended) bagi sekumpulan bilangan ordinal tak terhingga/ infinite.

Tetap konsisten dengan pandangan falsafahnya, Brouwer cuba membuat semua itu dan mahu memahami matematik apa adanya. Akhirnya dia juga mahu menerima prinsip dalam logik, prinsip tidak termaktub di tengah (PEM / Principle of the Excluded Middle), salah satu tulisanannya pada tahun 1908, The Unreliability of The Logical Principles, Brouwer mengformulasikan, dalam istilah-istilah umum, kritikannya terhadap PEM.   Walaupun dalam bentuk sederhana, prinsip yang tidak akan mencetuskan percanggahan, dimana Brouwer memberikan contoh-contoh, diucapkan, tanpa ada alasan positif untuk menerima bahawa hal itu benar dan sahih.

Inovasi ini memberi intuisisme mempunyai ruang gerak lebih besar daripada matematik konstruktif aliran-aliran yang lain (termasuk di sini disertasi Brouwer) adalah pilihan-pilihan dalam melihat suatu deret. Banyak diketahui bahagian-bahagian bilangan tak terhingga (atau objek-objek matematik lain) dipilih mendahului yang lain oleh setiap matematik sesuai keinginan mereka masing-masing. Memilih suatu bahagian memberi mereka impresi awal secara intuisi menerima objek yang ditulisnya pada buku yang terbit pada tahun 1914. Prinsip yang membuat secara matematik mudah dikerjakan, prinsip berterusan, yang dirumuskan pada kuliah Brouwer pada tahun 1916.

Tujuan utama memilih bahagian merupakan rekonstruksi analisis; titik-titik dalam (bidang) kontinuum (bilangan-bilangan nyata) yang dikenalpasti dengan memilih bahagian yang memenuhi syarat-syarat keadaan-keadaan tertentu. Memilih pelbagai pilihan bahagian boleh dilakukan dengan menggunakan alat wang disebut dengan 'spread', yang mempunyai fungsi serupa dengan analisis klasik Cantorian dan awalnya Brouwer menggunakan istilah 'gabung' ('himpunan') untuk pelbagai sebaran.  Oleh itu, untuk mengukuhkan teori sebaran dan teori titik-titik ini yang digunakan sebagai dasar, termaktub dalam dua makalah yang diterbitkan pada tahun 1918/1919, Founding Set Theory Independently of the Principle of the Excluded Middle.

Selain itu, murid Brouwer yang mempunyai pengaruh besar pada perkembangan intuisionisme falsafah matematik adalah Arend Heyting. Heyting membina sebuah formalisasi logik intuisionisme yang sangat tepat. Sistem ini dinamakan "Predikat Kalkulus Heyting".  Heyting menegaskan bahawa dari andaian metafizik yang asal dalam kebenaran realism-logik klasik, bahasa matematik klasik adalah pengertian faktor-faktor objektif syarat-syarat kebenaran yang terbaik.  Semantik matematik klasik menggambarkan suatu keadaan dalam kenyataan benar atau salah.  Semantik seperti ini tidak tepat untuk intuisinisme. Justeru, sebagai pengganti, bahasa intuisionisme seharusnya difahami dalam faktor-faktor syarat-syarat penyelesaian. Semantik akan menggambarkan suatu perhitungan seperti sebuah penyelesaian kanonikal untuk setiap permasalahan.

Heyting dalam bukunya "Intuitionism" mengemukakan pendapat Brouwer, bahasa adalah media tidak sempurna untuk menyampaikan pembinaan nyata matematik. Sistem formalnya adalah dirinya sendiri sebagai sebuah legitimasi pembinaan matematik, tetapi satu yang tidak diyakini sistem formal menggambarkan secara kekal domain pemikiran matematik.  Pada suatu penemuan kaedah baru membolehkan kita untuk memperluaskan sistem formal.  Heyting menegaskan logik bergantung pada matematik bukan pada yang lain.  Oleh kerana itu, Heyting tidak bermaksud kerjanya pada logik untuk menyusun pertimbangan intuisionistik.

Selain itu ahli falsafah matematik Dummett, menyatakan matematik dan logik adalah linguistik dari awal. Falsafahnya lebih kepada pada logik intuisionistik daripada matematik itu sendiri.  Akan tetapi, seperti Brouwer, tetapi tidak seperti Heyting, Dummet tidak mempunyai orientasi memilih. Dummet menjelajah matematik klasik dengan menggunakan bentuk pemikiran yang tidak sah pada suatu jalan legitimasi penguraian pernyataan alternatifnya. Ia mencadangkan beberapa pertimbangan mengenai logik adalah benar yang pada akhirnya harus bergantung pada erti soalan. Ia juga mengguna pakai pandangan yang diperolehi secara meluas, yang kemudian disebut sebagai terminologi logik.

Dummet menegaskan bahawa erti suatu kenyataan tidak boleh mengandungi suatu unsur yang tidak menunjukkan penggunaannya. Justeru, untuk membuatnya, harus berdasarkan pemikiran individu yang memahami erti tersebut. Jika dua individu secara bersama bersetuju dengan penggunaan pernyataan yang dibuat, maka mereka pun bersetuju ertinya. Alasannya bahawa erti pernyataan mengandungi aturan instrumen komunikasi antara individu. Jika seorang individu dikaitkan dengan simbol matematik atau formula, di mana hubungan tersebut tidak berdasarkan kepada penggunaan, kemudian dia tidak dapat menyampaikan muatan tersebut dengan erti simbol atau formula tersebut, maka penerima tidak akan dapat memahaminya.  Acuan erti pernyataan matematik secara umum, harus mengandungi keupayaan untuk menggunakan kenyataan pada alur yang benar. Pemahaman seharusnya dapat disampaikan kepada penerima.  

           

2.4          Kritikan Terhadap Falsafah Intuisisme

Bantahan terhadap aliran ini adalah bahawa pandangan kaum intusionis tidak memberikan gambaran yang jelas bagaimana matematik sebagai pengetahuan intuitif bekerja dalam fikiran. Konsep-konsep mental seperti cinta dan benci berbeza-beza antara manusia yang satu dengan yang lain. Menurut Brouwer, dasar dari intuisionisme adalah fikiran. Namun pemikiran-pemikiran yang dicetuskannya banyak dipengaruhi oleh pandangan Immanuel Kant. Matematik ditakrifkan oleh Brouwer sebagai aktiviti berfikir secara bebas, namun sesuatu aktiviti yang didapati dari intuisi pada suatu ketika tertentu. Selain itu, dalam pandangan intuisionisme tidak ada realisme terhadap objek-objek dan tidak ada bahasa yang menyatukan, sehingga boleh dikatakan tidak ada penentu kebenaran matematik diluar aktiviti berfikir. Kedudukan hanya berlaku ketika subjek dapat dibuktikan kebenarannya (dibawa keluar dari kerangka pemikiran). Umumnya Brouwer mendedahkan bahawa "tidak ada kebenaran tanpa dilakukan pembuktian".

2.5          Kesimpulan

Bab ini telah pun membincangkan berkenaan sejarah perkembangan awal intuisisme, intuisisme Brouwer dan kritikan terhadap falsafah ini.  Berteraskan kepercayaan mereka bahawa hakikat matematik ialah intuisi manusia, maka intuisisme membina matematik berasaskan konsep-konsep yang jelas.  Mereka berjaya menunjukkan bahawa ahli matematik mesti lebih berhati-hati tentang erti kewujudan dalam bermatematik.  Tafsiran tentang set juga telah dikukuhkan iaitu set sebagai kaedah dan bukannya sebagai koleksi.  Di samping itu, mereka dapat menunjukkan bahawa bahasa formal bukanlah aspek asasi yang mesti ada pada matematik sebagaimana anggapan masyarakat umum ketika itu. 

3.0 LOGIKISME

3.1          Pendahuluan

Bab ini akan membincangkan tentang sejarah perkembangan awal logikisme, logikisme Russell dan Whitehead dan kritikan terhadap falsafah ini.

3.2          Sejarah Perkembangan Awal Logikisme

Logikisme merupakan salah satu daripada aliran pemikiran (schools of thought) di dalam falsafah matematik. Logikisme ialah teori falsafah mengenai status sesuatu kebenaran dalam matematik iaitu sama ada bersifat logik atau analisis. Ia menyatakan teori iaitu matematik sebagai pengembangan kepada logik yang mana sebilangan atau semua unsur matematik juga boleh diturunkan kepada logik.  Logik berasal daripada perkataan Greek iaitu logos yang bermaksud fikiran, idea, hujah, alasan atau prinsip.  Menurut logikisme, matematik itu bersifat a priorori atau matematik sering dipandang sebagai paradigma pengetahuan a priori, iaitu pengetahuan yang mendahului dan bebas daripada pengalaman. Matematik itu sendiri tidak berdasarkan pada sebarang pengalaman atas kejadian yang nyata di alam ini. Konsep-konsep dan objek-objek matematik boleh didefinisikan dalam terminologi logik. Dengan definisi-definisi ini, teorem-teorem dalam matematik dapat diperolehi daripada prinsip-prinsip logik. Jadi menurut sudut pandangan ini, kebenaran matematik harus berdasarkan pada logik dan semua pernyataan matematik memerlukan kebenaran logik.  Ringkasnya, hakikat matematik adalah logik. Kemunculan logikisme adalah disebabkan ahli matematik tidak mahu menerima anggapan bahawa semua masalah matematik ialah masalah agama. Mereka mahu keluar daripada belenggu keagamaan dan mula mengutarakan pandangan bahawa kebenaran adalah sepatutnya berasaskan prinsip- prinsip logik. Kebenaran harus diperoleh melalui tatakaedah pemikiran dan bukannya melalui kaedah empirik. Kaedah empirik hanya menghasilkan teorem yang berubah-ubah mengikut peredaran zaman tetapi pernyataan logik adalah sentiasa benar.  Ahli matematik tahu bahawa pernyataan ialah sesuatu ayat yang sama ada benar atau palsu. Contoh pernyataan ialah ‘sama ada hari ini hujan atau tidak’; jika semua A ialah B, maka setiap A ialah B dan semua A sama dengan A.   

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) merupakan ahli matematik awal yang menyatakan bahawa wujud hubungan istimewa antara logik dan matematik.  Beliau percaya bahawa matematik boleh diterbitkan daripada logik.  Tidak ada bidang ilmu lain yang boleh memastikan kebenaran matematik seperti logik.  Umpamanya, beliau berpendapat bahawa antonim bagi sebarang pernyataan yang akan membawa kepada percanggahan ialah pernyataan yang menunjukkan kebenaran.  Contohnya, pernyataan ‘segiempat tepat mempunyai 4 sudut 90⁰’ adalah benar. Antonim kepada pernyataan ini iaitu ‘segiempat tepat tidak mempunyai 4 sudut 90⁰’ akan menjadikannya palsu.  Begitu juga sebaliknya.  Apa yang menarik dalam pandangan Leibniz ini ialah pendirian beliau bahawa logik boleh memberikan kebenaran pasti. Jika diambil kira anggapan yang kebenaran pasti begitu banyak terdapat dalam matematik, tidaklah menghairankan jika seseorang itu berpendapat bahawa matematik diterbitkan daripada logik.

Richard Dedekind (1831-1916) juga salah seorang ahli matematik yang membayangkan kepentingan logik terhadap matematik.   Beliau berhujah bahawa nombor bukanlah berpunca daripada intuisi manusia berkenaan ruang dan masa.  Sebaliknya pengetahuan tentang nomborlah yang memberikan kita pengetahuan yang mendalam dan terperinci tentang ruang dan masa.  Nombor ialah hasil pemikiran yang berpunca daripada tatacara manusia berfikir, iaitu logik.  Jadi, jika matematik khususnya pematematikan ialah aktiviti berfikir dan berfikir ada tatacaranya yang tersendiri, maka sesungguhnya matematik juga ialah hasil berfikir tatacara tersebut. Namun begitu, Leibniz dan Dedekind tidak mengembangkan kepercayaan mereka iaitu matematik ialah logik.

Salah seorang lagi tokoh logikisme adalah Gottlob Frege (1848-1925). Beliau yakin bahawa setiap pernyataan yang diketahui mesti memiliki suatu alasan atau hujah yang asas. Suatu pernyataan bersifat a priori (deduktif) jika ia adalah suatu hukum umum yang tidak dapat dibuktikan atau jika ia memiliki justifikasi bukti yang hanya bersandarkan pada hukum -hukum umum yang tidak dapat dibuktikan.  Suatu pernyataan bersifat analitik jika ia suatu hukum logik umum atau definisi atau ia memiliki suatu bukti yang bersandarkan hanya pada hukum-hukum logik umum dan definisi-definisi seperti demikian. Pandangan Frege mengisyaratkan bahawa hanya pernyataan-pernyataan yang dapat diketahui atau terjustifikasi saja yang dapat bersifat analitik atau a priori. Contohnya, ayat ‘Semua orang bujang tidak berkahwin’, kebenaran ayat tersebut dapat diketahui hanya dengan memeriksa pengertian ayat itu sahaja, tidak lebih dan tidak kurang. Walhal orang yang telah bercerai pernah berkahwin; kanak-kanak tidak layak untuk berkahwin kerana belum matang, ataupun istilah ‘belum sampai jodoh’.  Kebenaran matematik tersirat dalam logik.  Buku Frege yang bertajuk Fundamental Laws of Mathematics (1894), beliau berusaha menunjukkan bahawa konsep-konsep penting dalam aritmetik boleh diterbitkan daripada andaian-andaian logik.

Namun begitu, usaha Frege tidak mendapat sambutan ketika itu kerana istilah-istilah yang diperkenalkan oleh beliau sangat kompleks dan juga banyak simbol baru.  Akhirnya Frege mengakui bahawa beliau gagal dalam menunjukkan hakikat bahawa matematik ialah logik.  Kegagalan ini berpunca daripada penggunaan yang berleluasa konsep ‘set yang mengandungi kesemua set’ yang membawa kepada percanggahan.

3.3          Logikisme Russell dan Whitehead

Kesilapan Frege ini telah ditunjukkan oleh seorang ahli matematik, Bertrand Russell (1872- 1970) yang juga merupakan salah seorang ahli logik.  Konsep ‘set yang mengandungi kesemua set’ ialah konsep yang sangat mengelirukan.  Set mengandungi unsur - unsur. Contohnya, set A ialah set yang mengandungi ‘semua katalog’.  Set A itu sendiri juga merupakan sebuah katalog, iaitu sebuah katalog yang mempunyai senarai katalog-katalog. Akan tetapi, bagi set B, katakan set yang mengandungi ‘semua binatang’. Set B bukannya seekor binatang.

Russell memberikan contoh antinomi ini dengan contoh yang menarik yang dikenali sebagai ‘paradoks Russell’ dalam tahun 1918.  Paradoks ini juga dikenali sebagai paradoks tukang gunting rambut.  Menurut paradoks ini, dalam sebuah kampung, hanya ada seorang tukang gunting.  Tukang gunting ini hanya menggunting rambut mereka yang tidak menggunting rambut mereka sendiri. Ini adalah kenyataan umum kerana sekiranya kita menggunting rambut sendiri, ia akan menjadi tidak sempurna.  Persoalannya, siapa yang menggunting rambut tukang gunting itu? Kalau tukang gunting itu menggunting rambutnya sendiri, menurut definisinya ‘beliau hanya menggunting rambut mereka yang tidak menggunting rambut sendiri’.  Jadi sebagai tukang gunting, beliau tidak boleh menggunting rambut ‘orang yang menggunting rambutnya sendiri’.  Tetapi jika beliau tidak menggunting rambutnya sendiri, beliau layak untuk digunting oleh tukang gunting iaitu dirinya sendiri. Konsep ini sungguh membingungkan.  Ada ‘penyelesaian’ lain yang cuba diberikan seperti tukang gunting itu seorang yang botak.  Ini tidak menyelesaikan masalah kerana senantiasa ada tukang gunting yang tidak botak. Sesungguhnya, paradoks Russell ini mempunyai kesan yang mendalam terhadap penyelidikan tentang hakikat matematik.

Russell kemudiannya memperincikan program logikisme bersama-sama dengan rakannya, Alfred North Whitehead (1861-1947) lalu menghasilkan buku Principa Mathematica (1910-1913) yang menjadi kitab rujukan utama selepas Frege. Antara persoalan yang mereka ingin tangani ialah untuk mengenal pasti tatacara kebenaran suatu premis itu mengimplikasikan kebenaran premis yang lain.  Konsep implikasi yang digunakan oleh mereka ialah konsep implikasi kebendaan. Menurut konsep ini, jika U benar, maka R mesti benar atau ringkasnya, ‘Jika U, maka R’.  Premis yang palsu mengimplikasikan sebarang implikasi lain.  Contohnya, ‘ Jika g ialah nombor genap, maka 2g ialah nombor genap’.  Jika U benar, tidak mungkin R palsu.  Oleh itu, untuk sebarang nombor genap, gandaannya juga menghasilkan nombor genap.  Akan tetapi katakanlah U palsu, iaitu ‘g bukan nombor genap’ seperti nombor 3 atau 22/3. Ini akan menghasilkan kesimpulan iaitu ‘2g ialah nombor genap’ dan ‘2g bukan nombor genap.  Justeru, dengan menggunakan sesuatu sifat set untuk mendefinisikan sesuatu set, mereka berjaya mendefinisikan juga set tak terhingga kerana menurut kaedah definisi demikian, mereka tidak perlu menamakan satu per satu kesemua setiap unsur yang ada di dalam sesuatu set itu.  Russell dan Whitehead telah cuba untuk mengatasi masalah Frege untuk mendapat matematik yang bebas daripada keraguan.  Secara terperincinya, mereka mengemukakan ‘teori penjenisan’ untuk menangani masalah ‘set yang mengandungi kesemua set’.

           

3.4          Kritikan Terhadap Falsafah Logikisme

Menurut Kline (1980) dalam Abdul Latif Samian (1999), teori penjenisan mereka ini menimbulkan masalah apabila digunakan untuk menerangkan beberapa konsep matematik.  Antara masalahnya, ia menyukarkan penaakulan matematik dalam teori nombor.  Berdasarkan masalah ini, mereka mengetengahkan lagi aksiom yang dikenali sebagai aksiom penurunan.  Namun begitu, menurut seorang ahli logik yang terkenal, Frank Plumpton Ramsey, aksiom ini tidak dapat dibuktikan sebagai aksiom logik. Maksudnya, kedudukan aksiom ini sebagai aksiom logik tidaklah jelas.  Akhirnya, pada tahun 1959, Russell mengakui dalam bukunya, My Philosophical Development bahawa keyakinan yang beliau fikir boleh ditemui dalam matematik akhirnya hilang bersama-sama dengan segala kekusutan yang timbul.  Akhirnya beliau sendiri mengalami kepahitan dengan kenyataannya yang terkenal, iaitu ‘matematik ialah satu-satunya bidang ilmu yang kita tidak akan tahu apa sebenarnya yang kita cakapkan dan sama ada perkara yang dicakapkan itu benar’.

3.5          Kesimpulan

Bab ini telah pun membincangkan tentang sejarah perkembangan awal logikisme, logikisme Russell dan Whitehead dan kritikan terhadap falsafah ini.  Aliran falsafah logikisme diketengahkan sebagai usaha ahli matematik Eropah, terutamanya Bertrand Russell, untuk mengenal pasti hakikat matematik selepas bidang ilmu ini terkeluar dari mandala keagamaan sejak akhir abad yang ke-19.  Akan tetapi, perlu dicatat bahawa usaha ini tidak beroleh kejayaan dan diakui sendiri oleh Russell yang merupakan seorang atheis. 

4.0 FORMALISME

4.1          Pendahuluan

Bab ini akan membincangkan tentang sejarah perkembangan awal formalisme, formalisme David Hilbert dan kritikan terhadap falsafah ini.

4.2          Sejarah Perkembangan Awal Formalisme

Formalisme melihat matematik sebagai satu disiplin yang formal dan sistematik yang diwakili oleh simbol. Falsafah ini adalah tergolong di dalam golongan absolutist (falsafah bebas nilai).  Golongan formalisme sentiasa melibatkan pembentangan yang jelas tentang langkah-langkah yang digunakan dalam mana-mana prosedur diikuti dengan usaha yang meluas untuk memastikan penghafalan.

Menurut Brown, J.R. (2008), “The whole school of (early or pre-Hilbert) formalism was crushed by Frege (1884). I’ll only mention two of Frege’s points. First, mathematics couldn’t possibly be about individual symbols (tokens) but must instead be about classes of symbols (types). The string: ♠♠♠♠♠ consists of five distinct tokens all of the same type. Tokens are concrete individuals, but types are abstract. The tokens may themselves be meaningless symbols, the very thing that nominalists hanker after, but types will give them heartburn. If we’re going to have abstract objects anyway, we might as well hang for an eggplant as an okra.  Second, the meta-theory of games can be meaningful mathematics. (This, perhaps, was Frege’s strongest point.) For example, consider: ‘The proof of the (above) theorem is five steps long.’ ‘The king and two knights cannot force mate.’ These are meta-theorems about games – and they are meaningful. The game of chess and the formal system S are perhaps meaningless games in the very sense that formalists claim. But the meta-claims about those meaningless games are themselves not meaningless. They are mathematical and they have an objective truth-value”.

4.3          Formalisme David Hilbert

David Hilbert (1862-1943) menghabiskan masanya sepanjang tahun 1920 dengan membuat kajian berkaitan falsafah matematik. Aksiom logik yang diutarakan oleh Hilbert tidak berbeza daripada Russell, malahan Hilbert telah membuat banyak aksiom. Menurut Hilbert, logik sahaja tidak boleh dijadikan sandaran untuk membuat kesimpulan dalam matematik.  Beliau berpendapat bahawa cara terbaik untuk ‘menyelamatkan’ matematik ialah dengan menganggap matematik sebagai lebih daripada pengetahuan yang nyata, iaitu sebagai disiplin formal yang simbolik.  Deduksi adalah cara memanipulasi simbol-simbol tadi dan mesti selaras dengan prinsip-prinsip logik.  Hilbert telah memutuskan bahawa semua pernyataan logik dan matematik mestilah dalam bentuk simbolik.  Ini bagi menghindarkan kekaburan bahasa dan penggunaan yang hanya berdasarkan pengertian intuisi dan untuk mencapai ketepatan pembuktian yang objektif.  Beliau yakin pendekatan simbolik ini boleh mengelakkan paradoks.  Selain itu, Hilbert juga menganggap simbol-simbol ini sebagai unsur-unsur sempurna yang diperlukan untuk membina semua matematik.  Walau bagaimanapun, beliau percaya bahawa dalam alam nyata ini hanya objek-objek yang terhingga sahaja yang wujud.  Justeru, perkara penting ialah menyusun unsur nombor-nombor terhingga.

Sehubungan dengan itu, Hilbert berpendapat bahawa nombor-nombor tak nisbah tidak mempunyai pengertian intuisi sebagai nombor.  Malahan, boleh memperkenalkan konsep panjang sebagai ukuran tak nisbah.  Pada tahun 1870, Hilbert telah menggunakan pendekatan berkenaan dengan nombor kompleks, iaitu penglibatan nombor -1.  Semua tanda dan simbol konsep dan juga operasi adalah bebas daripada pengertian intuitif.  Oleh itu, sebagai tujuan asas pemikiran matematik, simbol dan usulan ini mestilah berhubung atau merupakan rangkaian simbol sahaja.

Umumnya, ahli formalis berusaha bagi mendapatkan kekonsistenan dengan mengabaikan pengertian simbol.  Mujurlah simbol logik telah berkembang sepanjang abad yang ke-19 dan awal abad ke-20, maka Hilbert mendapati alat yang beliau kehendaki.  Simbol seperti “~” untuk “tidak”, “.” untuk “dan”, “v” untuk “atau”, “à” untuk “mengimplikasikan” dan “Ǝ” untuk “wujud” telah digunakan pada masa itu.  Simbol-simbol ini tidak tertakrif sifatnya.

4.4          Kritikan Terhadap Falsafah Formalisme

Namun demikian, terdapat beberapa kritikan yang diajukan kepada pengikut-pengikut formalisme.  Salah satu kritikan yang diajukan kepada aliran ini ialah oleh Bertrand Russell dalam bukunya The Principles of Mathematics.  Menurut Russell, B. (1931), “Accordingly the symbols 0, 1, 2, ...do not represent one definite series, but any progression whatever. The

formalists have forgotten that numbers are needed, not only for doing sums, but for counting. Such propositions as " There were 12 Apostles" or "London has 6,000,000 inhabitants" cannot be interpreted in their system.  For the symbol " " may be taken to mean any finite integer, without thereby making any of Hilbert's axioms false ; and thus every number-symbol becomes infinitely ambiguous. The formalists are like a watchmaker who is so absorbed in making his watches look pretty that he has forgotten their purpose of telling the time, and has therefore omitted to insert any works.”

4.5          Kesimpulan

Bab ini telah pun membincangkan tentang sejarah perkembangan awal formalisme, formalisme David Hilbert dan kritikan terhadap falsafah ini.  Kritikan yang ditujukan kepada aliran formalisme telah menyebabkan aliran fahaman itu kini semakin terpinggir.  Akan tetapi, menurut kajian Wan Zah Wan Ali, et. al. (2005), yang mengkaji kefahaman guru tentang nilai matematik, mendapati bahawa mazhab pemikiran logikisme dan formalisme merupakan corak pemikiran matematik yang menjadi pegangan responden.  Kajian deskriptif yang menggunakan kaedah kualitatif ini dilakukan ke atas empat orang guru di Selangor dan Wilayah Persekutuan. Data dikumpulkan melalui temubual mendalam yang dilakukan beberapa kali sehingga mencapai tahap ketepuan data yang dikehendaki. Transkripsi temubual ini dianalisis secara induktif.

5.0 KESIMPULAN

Setelah membincangkan falsafah matematik berkaitan intuisisme, logikisme dan formalisme, maka dapat difahami tokoh-tokoh yang terlibat seperti Brouwer, Russell dan Hilbert ingin mengemukakan hakikat sebenar matematik.  Mengakhiri perbincangan, penulis ingin melemparkan satu persoalan, apakah takrif yang paling tepat untuk matematik? Itulah persoalan yang masih bermain dan akan terus bermain dalam minda para pengkaji. Umum mengetahui, matematik merupakan koleksi ilmu yang luas di bawah induk falsafah. Matematik tidak hanya terbatas kepada aritmetik dan geometri sahaja. Akan tetapi, aritmetik dan geometri merupakan dua komponen popular dalam matematik. Masih banyak lagi cabang matematik yang lain termasuklah mantik, astronomi, muzik, trigonometri dan analisis. Kita telah melihat melalui perbincangan sebelum ini, pelbagai takrifan diberikan untuk matematik, namun dalam perkembangan kemudian, telah muncul cabang matematik lain yang tidak termasuk dalam takrifan. Golongan masyarakat awam memahami matematik sebagai ilmu pengiraan, sedangkan pengiraan hanya melibatkan cabang aritmetik sahaja yang merupakan komponen kecil matematik. Penghujahan dan penakulan mantik atau analisis merupakan unsur asas matematik tetapi bukan berbentuk pengiraan. Tambahan lagi, matematik seperti muzik melibatkan irama dan kesenian. Keragaman takrif matematik berkait pula dengan sistem nilai pentakrifnya yang melihat matematik menerusi sudut pandangnya. Barat menganggap matematik sebagai ilmu abstrak yang menganalisis proposisi kuantitatif menerusi pengoperasi mantik, sedangkan matematik di sisi ilmuwan silam dilihat sebagai penghubung antara sains dan metafizik yang sarat dengan nilai sama ada dari segi kualitatif, kuantitatif atau kedua-duanya sekali. Berbalik kepada perbincangan di atas, walaupun ketiga-tiga mazhab mempunyai perbezaan pendapat dalam mengemukakan apakah matematik itu, namun kita tidaklah dengan mudah boleh menyalahkan pendapat-pendapat tersebut. Kajian secara menyeluruh perlu dibuat untuk menganalisis keunggulan dan kekuranganya. Ini memerlukan pengorbanan masa, tenaga dan fikiran untuk memahaminya secara benar. Apa yang boleh dikatakan disini, sebagai komponen falsafah, matematik perlulah mempunyai unsur kuantitatif, kualitatif, abstraksi, analisis dan sistem nilai. Sebagai masyarakat Asia pula khususnya di Malaysia, matematik memiliki takrifan yang tersendiri yang tentu sangat berbeza dengan takrifan Barat walaupun ada domain sepunya yang berbentuk sejagat.

BIBLIOGRAFI

Abdul Latif Samian (1999).  Falsafah Matematik.  Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.

Brown, J.R. (2008).  Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures.  New York & London: Routledge Taylor & Francis Group.

Joachim H, H. (1957).  Descartes’s Rules for the Direction of the Mind.  London: George Allen & Unwin Ltd.

Mat Rofa Ismail (2004).  Matematik Merentas Tamadun.  Kuala Lumpur:  Dewan Bahasa dan Pustaka.

Nolt, J. & Rohatyn, D. (1988).  Mathematics & Cognition.  Cambridge: Cambridge Univ. Press. 

Russell, B. (1931).  The Principles of Mathematics.  New York: W.W. Norton & Company, Inc. 

Wan Zah Wan Ali, et.  al. (2005).  Kefahaman Guru Tentang Nilai Matematik.  Jurnal Teknologi, 43(E) Disember. 2005: 45-62.